日历

2025 - 6
日 一 二 三 四 五 六
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930     
«月» 2025 - 6 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 TQ@BJ!p^  
uxu_v'(W  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. T-ak  
T(wc9#--PX  
　　1、三角函数本质： ?5eAc 5g]  
V` vRp{"  
　　三角函数的本质来源于定义 l R8Fn&  
YX:}%v]QnS  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 i&7UYH3$X  
UP{CF$_8  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 u1~.I]m  
$,{$.T (*=  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： o,uCG(5U  
d N[UjG;  
　　推导： b+ex]o 8  
57lQ~S  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 HEXzI  
)| @W3K  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) @?<'n/t  
ML)l/ls!L  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) eB3QM95_J  
MG|f[G  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 `J#U-o I  
@,xxS.+ %  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） R Ox;i  
@Bk({lxl|  
　　[1] w@*T ]u\  
)[J~{%   
　　两角和公式 PUY/z@m2  
i,C&k"I(sa  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB L9|a+q P  
_JD'9?_5  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  (7J<6egS'  
wys(kq I  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB +U\\AG$!  
\UWxi)p  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB e>oV(44R*  
=Qe<t"]  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) <GZ}o]r  
Rbq;zT[2<[  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Jo+h#Ao|6  
wJ 6OR Oh3  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  A/[vLz&  
my!  1*c  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) e=Rb7[4YJ  
5 CKW&i,]  
倍角公式 )bOv'jd  
]KR|Fjs  
　　Sin2A=2SinA•CosA fqQ&a0_"  
qaw%Pc  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 zk O8D<  
^pO8 1d  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ^ P3zJX  
d,UQ^X  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） a^(I4"ha  
o]<IBC,Y  
三倍角公式 %N^N|>:A^  
q</wjVK  
　　 #6lL-*R> g  
> c}g]<&(  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ySU KVA?  
GX=d"k  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) t;U~du( 8  
6fKd^r^u8  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) mHk'YGG  
B~n{cn  
三倍角公式推导 -FJ M`zKP  
G:r^{''XM  
　　sin3a Hk(.N+$C  
%c% }r*-  
　　=sin(2a+a) D_[a%TT L  
5Qbq{_k  
　　=sin2acosa+cos2asina hk y=_'T  
4ha1-%`y\  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina md+]%@<=  
TPYbnR  
　　=3sina-4sin³a I7-cDr\ x  
@&l0{ g  
　　cos3a , {p&; zk  
{j.(csd  
　　=cos(2a+a) b@?Sa,)]e  
1?Bjg'at  
　　=cos2acosa-sin2asina b0]c+\q)e  
tw (c [j  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa mF@g(O  
H"Q=$rAu  
　　=4cos³a-3cosa 1WcFy&1  
O6n~sE %  
　　sin3a=3sina-4sin³a IZ\+?0J\u  
] +K\p  
　　=4sina(3/4-sin²a) g /\bF  
$EgqBt  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] <s 8M/cl  
=ii=|p6A  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 9[aj3%L-  
}8Lk*P  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) lX@iA.4  
B,;b`},]  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] PU~KiK  
!|1b>b]+  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) p&+mTVv@}  
0.C@[4  
　　cos3a=4cos³a-3cosa (,1(u  
63yz;$AjV  
　　=4cosa(cos²a-3/4) < H"Fe/H  
av{0Py^|.T  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] @Bq8jj fo  
oiU&,3LUA  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Lj!H@^rH~  
@)E%_V'  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 2sU3*?x  
rXpc/9[K  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} b o$D{:.  
Map|lD*  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) e#yBqO,(  
tT\_a"C  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] IH;U/X2wI  
eeom'~-=J  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] { ++Ik@  
(N ?YY mI>  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) \c&Hek~  
'# n  
　　上述两式相比可得 jb  ),o  
fY\ ;#7  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) oQ%sr d  
<)uuqr e  
半角公式 s+uHe(Ln  
3}ShiJ:i|R  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 'Oh@{aq  
\ xtNTE+  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. "j`8tExbw  
 Sw>>-;{/  
和差化积 DqK 7zuy  
+/q3  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] _4"?G  
A=):H  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] FX\^BWZ7+  
"h2Bp)d&  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] CF!=;$0+[\  
&5Zkp@  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] n Lz)4_,)  
ad":HO=  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) r4o;jh ?  
9 <c9RL|$  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) q,}ixF3&  
a,pJ0mXd  
积化和差 xOah?i7>pw  
IliHHL4|  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] %Cs_|hhH9  
F'8vX (  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ;hcHPv+0&m  
x~WRObeL  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 2<\icDk  
gG}JS1{8  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] RC`rF1:/  
m7L|ORq#m  
诱导公式 xE-?p z  
Hm~)#8 dn  
　　sin(-α) = -sinα 1#k'ndnJ)  
r=Vdci7G  
　　cos(-α) = cosα Z^=q  
:%}6<SiJ^  
　　sin(π/2-α) = cosα 7/mci+lu  
.N?+=-Y  
　　cos(π/2-α) = sinα ^.=u`  
bm"n^XxY  
　　sin(π/2+α) = cosα h&jjpxJcE  
tZbY}_$~6  
　　cos(π/2+α) = -sinα Y/@FL[:  
*+L2?"  
　　sin(π-α) = sinα R{)M\lhjH  
u()egGDP  
　　cos(π-α) = -cosα T8"t Fyj  
*gbEaj80  
　　sin(π+α) = -sinα km$q7 ?)Eb  
&<hb0F y  
　　cos(π+α) = -cosα &Rb _SQ:X  
qzq&^{l  
　　tanA= sinA/cosA VmX*{NsBx_  
DkmU)  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα SsQ ))sW  
fW{StE=G#  
　　tan（π/2－α）＝cotα }P>&d }  
.kdr]%i  
　　tan（π－α）＝－tanα K_:LR16Ca  
n,m3uh  
　　tan（π＋α）＝tanα aqyo]'$f  
u 0"LOG  
万能公式 @'qE-kn  
|`@6~_vcm  
　　 o[<T~*T  
@92Q&N_  
其它公式 ^tN"opV  
WCay]  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 .^gALvw  
q2W_.<  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 egQ8ha ^  
%D1 !ht9  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 !*11/C3Dl  
2-`9Z =N  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ~@PaxiwR  
%ph+ A8~  
　　对于任意非直角三角形,总有 FmHPk6N  
Kph)])  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC u\ E n#nkU  
2{|d/ {~:c  
　　证: a~5Qid&  
J795s+.}gp  
　　A+B=π-C T+xk6W ,  
b$/4_W{  
　　tan(A+B)=tan(π-C) uiS-,&x$M  
cJb]Rh Nu  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) fYynMm~3  
Hu36N R+l  
　　整理可得 Frp> Xh}  
mi<90  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC v|e >o   
PkHkc  
　　得证 3\-IOKajy8  
I#; /}dO  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 o 1?q y{  
Us0y6M g  
其他非重点三角函数 3Qra^<c  
>vk Nt  
　　csc(a) = 1/sin(a) 'xs  
IKR,i:@  
　　sec(a) = 1/cos(a) ix3Llc s .  
GwN&dpM(  
　　 <\?4,pJ  
oQTWHq?c  
双曲函数 B}Su[OD  
neq_I;g[m  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 xDq{7.|  
A >{[(}  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 | nGC=->  
hE9t$|bb=  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) "uy<S`+, k  
,#X} 5"  
　　公式一： i'{V$}KD'  
Q+bE7=t}sy  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： !.nQp &=Wy  
?F6\RPG  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ,{oC]$  
W1d" ' kUw  
　　cos（2kπ＋α）= cosα C,X\t#Ycu  
/Zof+ejx  
　　tan（kπ＋α）= tanα P{Kd{aH  
rSbj1j?C  
　　cot（kπ＋α）= cotα S-^/11#  
Fb;F5 v  
　　公式二： sEtf\*G7s  
B:3pCa7  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： CChq {KB   
\rcJ.i  
　　sin（π＋α）= -sinα e QhD1#q  
?6<!o6J  
　　cos（π＋α）= -cosα s9dNh!  
I* LXO%  
　　tan（π＋α）= tanα I e+I+ %  
K@@(Cak Q  
　　cot（π＋α）= cotα waL4~}  
>h{qPRwI  
　　公式三： }.^Qce leX  
X6m+\ 1  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： H}W,i+)O`  
TU nJFz  
　　sin（-α）= -sinα -FW(7S{su  
L^'!}jB  
　　cos（-α）= cosα |-E^sXc#{  
C-;=a@} /  
　　tan（-α）= -tanα ru]/i}MH  
 J+S sTIS  
　　cot（-α）= -cotα G[h ;~]  
IZ(-&Kq68  
　　公式四： `Z.ZN-d  
&MG 9&q  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： /KT5@f@,:  
:7 }D}\FD  
　　sin（π-α）= sinα + aiinE  
&[a[7k^d  
　　cos（π-α）= -cosα 2C4r&%.t  
[!@.k<Uh  
　　tan（π-α）= -tanα Avjt\V"  
Q5pam8Oh  
　　cot（π-α）= -cotα @ORAG:a o  
\{rxtg2sO  
　　公式五： (* E0!f[  
[IaA<Ave  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 5o7UuA%`  
9|7u$<3  
　　sin（2π-α）= -sinα 7scA7REbz  
/FD_0sqpgd  
　　cos（2π-α）= cosα c!D<Vu(/  
%En<F n9  
　　tan（2π-α）= -tanα rV_p^%_  
a  NdA+  
　　cot（2π-α）= -cotα 4mO>:>DA  
'BEZ]id^  
　　公式六： o% <v1.nJ  
\w^ZpF  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： QzW(VPrFbQ  
{a} 8!5  
　　sin（π/2+α）= cosα V7}z%  
51Gca7|  
　　cos（π/2+α）= -sinα a~ZrU\M[  
f\! ImO  
　　tan（π/2+α）= -cotα Q$J\$ikE!  
z]ZAiXnL  
　　cot（π/2+α）= -tanα zpGNmh  
/pM\ <  
　　sin（π/2-α）= cosα l]~@Jy]J  
>>E|` 8hx  
　　cos（π/2-α）= sinα 3_/A&e{/2  
*WyXf@~H9  
　　tan（π/2-α）= cotα n0 0|y8L  
EdjL=8|/J  
　　cot（π/2-α）= tanα I WPyO/!u  
BIi5Yh+  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 9`6H\]eO-H  
fx0<. z u  
　　cos（3π/2+α）= sinα XB>Rt,qM  
Nqox%J#  
　　tan（3π/2+α）= -cotα }Q$%rr8p!;  
zuO%P?>`6  
　　cot（3π/2+α）= -tanα (<$FmIl  
RF1t%' Q  
　　sin（3π/2-α）= -cosα X3D`Fbg  
P#/MZmN(m  
　　cos（3π/2-α）= -sinα SwX$rQ>;  
Gye #3:  
　　tan（3π/2-α）= cotα >oze5#A  
(d@' M9  
　　cot（3π/2-α）= tanα 2IkfT'}|  
s F?^,TH  
　　(以上k∈Z) ljEo@ b  
R];RJ3!  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 lG*~`^'Z  
`XKo<  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = SJ-m ^ i  
xhiw}- v  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } [,I4MewHz  
"(%eYr0g  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(16359) |  收藏