三角函数内容规律 *.6z&=_
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三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ;)HXL=H
:'Z4@58Ru
1、三角函数本质: gw#Z5 y8H
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三角函数的本质来源于定义 |)!D@DiKh
_Q}vAmmO
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 zwpAjX?<<
P00xLhV9r
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 :xY]=vT.
=SKgeED0
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: '<\r=+.2&
S$XP^K~fE
推导: ,:O[-Qyy
^)xOE
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 .z^4t'Z
x%wGPfn
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) A1Zrl-
{b@]'A4~
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) -x:0%5>*
G>=uF|s??
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 )?T=q!RP[
6,M-R?j0w
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 9jQd_\ge
$V#h%H$FLu
[1] D8K=
\
!'k 4Cp,
两角和公式 `H^qTB$<
}!rD,M
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB rZhpKRZ
s?_iGw`"C<
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB qWksNb_
*<^KC0j
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB gZOdaU*S
K@<7>U&
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB i:>GEtno
g=B';(
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) S}Kool
6UhgmNM
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) k}vY1Y
[zV$:sTv
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) *XH`L0q3
I]{MZ$f9
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) =piJO-`
|hSb~A
倍角公式 v+yuhsOd%
G+cNV+iJ"&
Sin2A=2SinA•CosA )H7e.P2(V
1u iR
7
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ~ISoQJ*k
.mvMJnJ=
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) `5?#YW
#PXS#JuT2
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 6b3. 0U
v`@/9lR
三倍角公式 a4gnV
c0\;]wT
[Mf:!69
F'KsAf.
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) |HuB<n*{
pHQCB,,yu
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \gf
2(-K
;?+/xf>
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) )`lEw
>n\U;1p
三倍角公式推导 w7@\JNgR
*6`P0{K'
sin3a CytcD
ib^56J8I%
=sin(2a+a) gL[eo;~K4_
OX(@NH*CQ
=sin2acosa+cos2asina U$8NPS<y'M
*7Hs8U
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina `02HpPc5
ovS]W19:D
=3sina-4sin³a <
^fYYY
Am7mw'i
cos3a `2eQ"1I2i
g2f=k\.E
=cos(2a+a) fT]6vU
nh TU1[.K
=cos2acosa-sin2asina b+}=u]p>8G
AB8C3oL
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa .,;s=5[%t
bnP_K2
=4cos³a-3cosa =;r9$b)N
p5YD!"Rt
sin3a=3sina-4sin³a 0E=x
Qnq#ER4+?
=4sina(3/4-sin²a) 0gRt<,U
w)Djc:&
=4sina[(√3/2)²-sin²a] E<yg`'
U?v@#y
=4sina(sin²60°-sin²a) W:&eoHP
'P`:]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 7GMCmj-V=
%rP>i9C:c$
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] aRMP\4F$5
<f\{Iw [
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 7D~y
ay y
B9x
# cU;
cos3a=4cos³a-3cosa X;biIe
=>y}^]4"
=4cosa(cos²a-3/4) Fv9JUK}
4)-ztOE!
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] u5e=jZu
{Xh@9n
=4cosa(cos²a-cos²30°) !>). aFLn
+P+O1cXOg
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
@tEQh
yP
_0pQ}
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} @oQ}3t
/w}owP:Hh
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) -_TPmV"W
O;6oCpJ
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ~h
t&-z
:Y /2X.v
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] dl@1~rO
Mqo]eE7u
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) &; '/!1,
,EQda
上述两式相比可得 N6V6K4t
[];+/?;A
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) B.#RK[f1
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\gI/,=
半角公式 F7BOE8.o
/~x|(>0
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); }vn|UrB2=
dC&/><M
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. .\Fwm./
"N@Ksu^
和差化积 0qyIBI@c
{Gr ]h
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &Wh1rrh
L::&Hc|
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {.<{;@&V_
doZ4 Oj9n
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] l`t3<PsB
iu"vrEAv
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] LZ3PvYLYY
?Refdp
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 0+Ww(@_
xnncg:@
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ;(wNe
O1
l,
积化和差 Z8t*W{
#a6
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sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] v9@,/l@L
b|F
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cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] tOODT_W(B
V#!ad=L
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] BdZ`H|
@KW"}H6s
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] +`,1NY
c
k |h^ 3
诱导公式 1:B04
`s*,3A[
sin(-α) = -sinα &}[vA_h
".Km]g~
cos(-α) = cosα G&Lc%!qz]
bfR<il#=
sin(π/2-α) = cosα _C])|KW*,~
k!J-^EW'
cos(π/2-α) = sinα GlN@[(pll
>i[q"*3sI
sin(π/2+α) = cosα huIt-wCBL
XoDgqyfFy
cos(π/2+α) = -sinα "%?L+A
gROJ:I}8_g
sin(π-α) = sinα q!apD
/[;i+FwM.
cos(π-α) = -cosα UBL-X EZ
vYy}]-yMse
sin(π+α) = -sinα \ i(8i$4/
rAOn-Ed
cos(π+α) = -cosα bh[=I&wH@
& (o|s=G
tanA= sinA/cosA U$F^{;OK
40Cg[Dg
tan(π/2+α)=-cotα !1#4k'Eu
16eADO5g
tan(π/2-α)=cotα !a##" +8p
dSf O^~H
tan(π-α)=-tanα UvH1g eR
c.o(5A
tan(π+α)=tanα 0
z253Ol
#UGHv:0@
万能公式 s"vUA$rzi
f7B#lG,6
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kE2Z|nO
KR7Nv t
其它公式 KcuEM +CSJ
w@RJqxh
(sinα)^2+(cosα)^2=1 oIpv|uAx
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k9zeO_
1+(tanα)^2=(secα)^2 ~Ms$c{ ?
cENn4N
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1+(cotα)^2=(cscα)^2 [P{ ux=%V
^{3*?V#V
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
L<.N& |