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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 *.6z&=_  
%^E~}+ J  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ;)HXL=H  
:'Z4@58Ru  
  1、三角函数本质: gw#Z5y8H  
 e=  
  三角函数的本质来源于定义 |)!D@DiKh  
_Q}vAmmO  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 zwpAjX?<<  
P00xLhV9r  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 :xY]=vT.  
=SKgeED0  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: '<\r=+.2&  
S$XP^K~fE  
  推导: ,:O[-Qyy  
^)x OE  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 .z^4t'Z  
x%wGPfn  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) A1Zr l-  
{b@]'A4~  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) -x:0%5>*  
G>=uF|s ??  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 )?T=q!RP[  
6,M-R?j0w  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 9jQd_\ge  
$V#h%H$FLu  
  [1] D8K= \  
!'k 4Cp,  
  两角和公式 `H^ qTB$<  
}!rD,M  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB rZhpKRZ  
s?_iGw`"C<  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  qWksNb_  
*<^KC0j  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB gZOdaU*S  
K@<7>U&  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB i:>GEtno  
g=B';(  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) S}Kool  
6UhgmN M  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) k}vY1Y  
[zV$:sTv  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  * XH`L0q3  
I]{MZ $f9  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) =piJ O-`  
|hSb~A  
倍角公式 v+yuhsOd%  
G+cNV+iJ"&  
  Sin2A=2SinA•CosA )H7e.P2(V  
1u iR 7  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ~ISoQJ*k  
.mvMJnJ=  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) `5?#YW  
#PXS#JuT2  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) 6b3. 0U  
v`@/9lR  
三倍角公式 a4gnV  
c0\;]wT  
   [Mf:!69  
F'KsAf.  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) |HuB<n*{  
pHQCB,,yu  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \gf 2(-K  
;?+/xf>  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) )`lEw  
>n\U;1p  
三倍角公式推导 w7@ \JNgR  
*6`P0{K'  
  sin3a CytcD  
ib^56J8I%  
  =sin(2a+a) gL[eo;~K4_  
OX(@NH*CQ  
  =sin2acosa+cos2asina U$8NPS<y'M  
*7Hs8U  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina `02HpPc5  
ovS]W19:D  
  =3sina-4sin³a < ^fYYY  
Am7mw'i  
  cos3a `2eQ"1I2i  
g2f=k\.E  
  =cos(2a+a) fT]6vU  
nh TU1[.K  
  =cos2acosa-sin2asina b+}=u]p>8G  
AB8C3oL  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa .,; s=5[%t  
bnP _K2  
  =4cos³a-3cosa =;r9$b)N  
p5YD!"Rt  
  sin3a=3sina-4sin³a 0E=x  
Qnq#ER4+?  
  =4sina(3/4-sin²a) 0gRt<,U  
w)Djc:&  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] E<yg`'   
U?v@#y  
  =4sina(sin²60°-sin²a) W:&eoHP  
'P`: ]  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 7GMCmj-V=  
%rP>i9C:c$  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] aRMP\4F$5  
<f\{Iw [  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 7D~y ay y  
B9x # cU;  
  cos3a=4cos³a-3cosa X;biIe  
=>y}^]4"  
  =4cosa(cos²a-3/4) Fv9JUK }  
4)-ztOE!  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] u5e =jZu  
{Xh@9n  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) !>).aFLn  
+P+O1cXOg  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) @tEQh  
yP _0pQ}  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} @oQ}3t  
/w}owP:Hh  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) -_TPmV"W  
O;6oCpJ  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ~h t&-z  
:Y /2X.v  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] dl@1~rO  
Mqo]eE7u  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) &; '/!1,  
,EQda  
  上述两式相比可得 N6V6K4t  
[];+/?;A  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) B.#RK[f1  
VE \gI/,=  
半角公式 F7BOE8.o  
/~x|(>0  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); }vn|UrB2=  
dC&/><M  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. .\Fwm./  
"N@Ksu^  
和差化积 0qyIBI@c  
{Gr ]h  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] &Wh1rrh  
L::&Hc|  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {.<{;@&V_  
doZ4 Oj9n  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] l` t3<PsB  
iu"vrEAv  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] LZ3PvYLYY  
?Refd  p  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 0+Ww(@_  
xnncg:@  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ;(wNe  
O1 l,  
积化和差 Z8t*W{  
#a6 pD  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] v9 @,/l@L  
 b|F S  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] tOODT_W(B  
V#!ad=L  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] BdZ`H|  
@KW"}H6s  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] +`,1NY c  
k |h^ 3  
诱导公式 1:B04  
`s*,3A[  
  sin(-α) = -sinα &}[vA_h  
".Km]g~  
  cos(-α) = cosα G&Lc%!qz]  
bfR<il#=  
  sin(π/2-α) = cosα _C])|KW*,~  
k! J-^EW'  
  cos(π/2-α) = sinα GlN@[(pll  
>i[q"*3sI  
  sin(π/2+α) = cosα huIt-wCBL  
XoDgqyfFy  
  cos(π/2+α) = -sinα "%?L+ A  
gROJ:I}8_g  
  sin(π-α) = sinα q!ap D  
/[;i+FwM.  
  cos(π-α) = -cosα UBL-X EZ  
vYy}]-yMse  
  sin(π+α) = -sinα \ i(8i$4/  
rAOn-Ed  
  cos(π+α) = -cosα bh[=I&wH@  
& (o|s=G  
  tanA= sinA/cosA U $F^{;OK  
40Cg[Dg  
  tan(π/2+α)=-cotα !1#4k'Eu  
1 6eADO5g  
  tan(π/2-α)=cotα !a##" +8p  
dSf O^~H  
  tan(π-α)=-tanα UvH1g eR  
c.o(5A  
  tan(π+α)=tanα 0 z25 3Ol  
#UGHv:0@  
万能公式 s"vUA$rzi  
f7B#lG,6 a  
   kE2Z|nO  
KR7Nvt  
其它公式 KcuEM +CSJ  
w@RJqxh  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 oIpv|uAx  
G k9zeO_  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 ~Ms$c{?  
cENn4N J  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 [P{ux=%V  
^{3*?V#V  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 L<.N&  
"TSufD2F  
  对于任意非直角三角形,总有 MO9G]OG#>  
d@[7jj  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ,]WN *4}  
%g 5FZIt  
  证: [ssqP }8  
!N>-DE  
  A+B=π-C /Y%4( Mz  
P0]_R7mjJ  
  tan(A+B)=tan(π-C) AE&Q&Vu  
fgST[j9d1&  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Qh>b$ 7{  
:p+cpSV$X  
  整理可得 $u\7DXydk  
I'_aa?gy]  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC BgxPLE  
98K4t?  
  得证 \$u4wvSu  
$(/aE%#"  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Rd)V =!/J  
z<gxwey! a  
其他非重点三角函数 &'55 hR]  
4/U8S_o  
  csc(a) = 1/sin(a) Y[G4};sL  
Mp.>$rb  
  sec(a) = 1/cos(a) lJsIr  
tsdEmJbz  
   j-G/-I  
 ?Sddn!  
双曲函数 'F^kA  
lo,'EK!*  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Qbw6 %o  
SY[Ng2}dR  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 8+sf04XE/  
$T8?D+  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) "Uks  
=<x{#du-  
  公式一: g#)]  
trM#I 3j  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: ,6JlgI4  
![}H,|  
  sin(2kπ+α)= sinα :iJX7#D   
[@Pcb^KCFf  
  cos(2kπ+α)= cosα 9txV;SaX  
u99?@5Hlw  
  tan(kπ+α)= tanα W!B9:r` 0  
11 \(Rfg(2  
  cot(kπ+α)= cotα M~9C^w 1c  
~dH>if)p  
  公式二: z8}.l 'k$  
xhuAu  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sgR<fTn7T  
$sFXRGZ 7  
  sin(π+α)= -sinα }n o< ycY  
k9QEjTbj\  
  cos(π+α)= -cosα :=m8YHc3  
`}0f[@L   
  tan(π+α)= tanα ? 0w6P^#  
*Om|N=0  
  cot(π+α)= cotα m&<-r%  
Yn/#c q9  
  公式三: \+a(M1:  
+>W-L8ITL  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: JY/ "JlS  
'anDT  
  sin(-α)= -sinα >_\@^OHQ?h  
[Bd=Ck6)  
  cos(-α)= cosα xBRQ4baS  
UnopP$  
  tan(-α)= -tanα <@KCwgp  
J-4xqq}"m  
  cot(-α)= -cotα Qg\cJ>[Df{  
RP -W_Q U  
  公式四: S 9Qo  
AJG2=#z  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: L\T(Hn  
*fjbEB  
  sin(π-α)= sinα jyA]LVPb  
g_<) r+k  
  cos(π-α)= -cosα -fR>beT  
Tglv:B8iIC  
  tan(π-α)= -tanα 215[!vM  
.;JiTn#1T  
  cot(π-α)= -cotα ]pxNE6v)~?  
^2rd^  
  公式五: W ra ]  
MIBe|UI  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ^ID6`zzJ^  
Jh"z+YsU  
  sin(2π-α)= -sinα zT3FeX  
`s^-NT  
  cos(2π-α)= cosα lL7 [Jv`  
nP9v~1  
  tan(2π-α)= -tanα rQnUw5=  
6I *6?  
  cot(2π-α)= -cotα })ar5w6#  
4[E GQ*a2  
  公式六: .0Q'&8 T/  
t|^v\&  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: jUqctih  
7TIsTcUI  
  sin(π/2+α)= cosα r[sky=B  
?p)@JS +  
  cos(π/2+α)= -sinα :zsk=\]  
8 @p ~y  
  tan(π/2+α)= -cotα Yt#*E?M  
[L^w>26:  
  cot(π/2+α)= -tanα Y|+%gDhi  
0q)+ %a,  
  sin(π/2-α)= cosα Ohvg)g8KY/  
\:(^L2|  
  cos(π/2-α)= sinα MB0{n;heY(  
/14d8D#*M  
  tan(π/2-α)= cotα p*j-|~rZ  
JcIn__QB0  
  cot(π/2-α)= tanα %1 ^ j#Uj)  
{/rLv]$d  
  sin(3π/2+α)= -cosα Xz%*CmeS`  
k(k  yyn  
  cos(3π/2+α)= sinα Yt2R^S;Y@)  
Dr/#2s  
  tan(3π/2+α)= -cotα T6j5"  
W 98+Cn  
  cot(3π/2+α)= -tanα .e^;Du  
. _$B]z(g  
  sin(3π/2-α)= -cosα t D?1Zdu  
_HB1c{'X~  
  cos(3π/2-α)= -sinα WK'2"wp  
yCq%R(Q<  
  tan(3π/2-α)= cotα ]N?}Xaq  
%9V^1(,.0&  
  cot(3π/2-α)= tanα \9WG*sac@  
[U^Q;Wd4W  
  (以上k∈Z) c:qN%y#1  
.'1qV2<q/  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 >u ~|95r  
Y^P*A-  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = kp y? R  
k881Z*W+  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } !X(5S! xA  
Zq- T]}ze  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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