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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 = i5htc]1  
waw|&E  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. +-n$77*  
RsU;LA  
　　1、三角函数本质： !y:,-{Y  
t b z_  
　　三角函数的本质来源于定义 V}KI= a:  
B@ ?dNYr  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 djzwR8%  
Y"k_<1 N%  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ][mr)&B^O0  
KDk<~r   
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 46Vw4 ]  
H#q aaBs   
　　推导： ShN6B rl #  
a(Op#Q   
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Q| 8&Go.f  
d8Ha3Z 7  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) c 3(-/h  
u_.rqhqg  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 7YAJ(K6(gI  
*Fb\a  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 %K'Xx|gL  
%#\O#2_0dW  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） dzs*)E6\  
.C_z@+}T  
　　[1] #K:rY   
1`a8<g-e  
　　两角和公式 i 8?P:}7Ax  
h#ag>=.Q$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB p$,uLF`4  
=< ;7Iw  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  sU&Q@  
[=82-T"'31  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB K3 2@2s:z  
G~Ll\X?R  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB |gKc&l  
U6PrE Wg:  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ,zb,P  
|4ti^';C)  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) SQvqS@Ez  
Wb*J_0N }  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  alpdTjT  
mo* &}|^zY  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 7-CR91Vp  
nhu(7bn.@  
倍角公式 R8 nq9]`  
 ENPf;<8  
　　Sin2A=2SinA•CosA  $*=,^  
2T.!1q  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 )H9JSQ,  
9$ms E h`  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） hU'FL8*Hf  
SpQ84#N4  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）  _EB7!  
Q|"U=N0  
三倍角公式 im<c.gei  
(92?Jh  
　　  !@Zw  
k3=w+  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) pa1|3 :YF}  
]SGfCd$W3?  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ]o&+Mk u  
NAul`NW y  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) nJotuv}  
Rua34mqb  
三倍角公式推导 *?U; "c&~  
uZ:M>z%  
　　sin3a ]Y[{\8#)  
8,8z{G3  
　　=sin(2a+a) W#-,W: ON  
lY4og!  
　　=sin2acosa+cos2asina N@6E2#W3  
CvUZ(7W  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ^_"[;+  
M%nQ8<[U  
　　=3sina-4sin³a ;TJkrun`p  
vit_P/p0  
　　cos3a |0#ya  
/f\8ii0?  
　　=cos(2a+a) M;NQi%pA[  
dTSP'26  
　　=cos2acosa-sin2asina x@Hh/J  
Z,ODeC`LR  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa e,n'vVq0  
W7LA]z$Z  
　　=4cos³a-3cosa FMpV9$ Pj  
hB|K!ON   
　　sin3a=3sina-4sin³a 3$+mA 5y"  
iu2k0? %^  
　　=4sina(3/4-sin²a) /22McdJ  
LC>HoW$$  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] {A__|x  
|%~-jdIW;  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) `UG-8`0  
S;) xv  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ~1V&Wi  
nyfFh3* e}  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 0AQB.0  
RvcOF?.J   
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) _56aKv  
|~%(xU$  
　　cos3a=4cos³a-3cosa j36c_fZq  
J)swHQ~iD  
　　=4cosa(cos²a-3/4) <.s5.#;  
yffw@c"  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] A?TnB\  
*^"?- "CE  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 5Y % m  
n9N*r9wj  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) WkYMSkxO  
<X2N)2   
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} #DPNUMCV  
4wdYT0  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 9-;7i5.2  
uD#Q>  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ljXF6;h1  
FRf9lZE  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] %6,I_?%l  
>l0@|Js  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) \[Ah ?J  
mE`&c`  
　　上述两式相比可得 e' Pv/K  
Zdkvx}U7  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) GBg(EyN-  
Zt0~`  
半角公式 U=<Di]*  
7wqoLJj  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); dM0[zf{  
 ?9F(J %  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. _3t}* b4  
{k' P  
和差化积 6i CxQd  
P=/?n  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] nzvp_)+G  
EnJ%cBix~  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] vZF>U m^ r  
_U.3vLYrfE  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] A'g[>n<i  
3zpHui[  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] gDh y?rS(Q  
h4g%<|)a  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ?cOCwjwV  
b\zDg7f65  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Rnx S~  
pN#I4K\  
积化和差 <YSO=%`   
w oK9?  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ba^C-N5t.  
B up]'%93l  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] %jH@m0GI  
%jM7 x  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] g,\cf97!I  
A\mp#AQ-.  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] $]_dfu  
Gq3~1Sz.N'  
诱导公式 A7#DR0yi4  
l !l\0ndK  
　　sin(-α) = -sinα 1;(8js504T  
l%Ox !%@  
　　cos(-α) = cosα WenXzl1  
]bci2:YA|  
　　sin(π/2-α) = cosα QZs@C6h  
s|D+*Mz'~  
　　cos(π/2-α) = sinα +av"lD!R  
&(FMXl Xc  
　　sin(π/2+α) = cosα {03_+xHB  
6;'?pI\p6  
　　cos(π/2+α) = -sinα ] O@<m62'  
c^rwGvn_o  
　　sin(π-α) = sinα _XW1B8C  
x VjY$9\  
　　cos(π-α) = -cosα N m(Y x;4'  
S-Gad-5Nt  
　　sin(π+α) = -sinα #SLm%tc]  
JG\ ([xg"  
　　cos(π+α) = -cosα `rL{5y  
<9~#;i~<  
　　tanA= sinA/cosA N Gs3Y|#Z  
* Mw!)}  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Io*\%]~J  
qPkq Ap&n  
　　tan（π/2－α）＝cotα lUW:PtCur[  
%FiIr uz  
　　tan（π－α）＝－tanα )d`01jskW^  
mm$qPk7rNR  
　　tan（π＋α）＝tanα a*WEo2M  
)v(lhpr\7  
万能公式 i>"PuB  
'Dhk]l~_  
　　 uy~H Z>  
xF<ffcN &  
其它公式 ZG=(_{Qze  
3&<6kW09T/  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 6 wC(N>=~  
Dbb@$>1  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 \K^ IB9 A  
lf)QqE  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 :H&U BR  
!XH{:LN&  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 s]v'X: o  
]Kz.8I  
　　对于任意非直角三角形,总有 L(%%i  
g`"XK/ <eP  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _&Rv[\w  
x/ouZv -  
　　证: rc[D{r,gv)  
fZ@IYp|,  
　　A+B=π-C zzU8KI1-5  
|M}MAtb;  
　　tan(A+B)=tan(π-C) $=C,;450  
Cyqe4E  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) :3 S-Y  
8Vfv\^  
　　整理可得 RS.~tA&:"  
 Ao +d}+f  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC !bv_fP6  
c/^6yoPab9  
　　得证 .} W=E{[  
n|BASm  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 :(Tvy[wtX=  
kZi$7C8#m  
其他非重点三角函数 /]y)7Besy  
o?r|ulWz$  
　　csc(a) = 1/sin(a) =DCgv!H>s.  
XT'Q  
　　sec(a) = 1/cos(a) N]CP;hO  
$M^P 322%  
　　 u@Fy C$v  
?iyj{ha  
双曲函数 T{))oL]}[  
(fB FMW  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 y@]fJZ@e  
`Hx  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 VV},356XF  
B],4"32L  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) gU,R|YZy  
){.tX(Uo  
　　公式一： m| CvVe  
6+j &fc  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： t%RIMfO/  
I[^Xd2j%H  
　　sin（2kπ＋α）= sinα -Hy {\oLI  
G:m(Jit(  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 4uY|L,7+  
2:LMS[\-  
　　tan（kπ＋α）= tanα YSP%\ua  
|Sz>y3xp  
　　cot（kπ＋α）= cotα 9I gU2su  
obEm78<iJ  
　　公式二： s*/+ik-  
5}rRv;Dg  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ~^\ `CVa  
M<",W3 N  
　　sin（π＋α）= -sinα rzT^#Az   
bNLT;F8;4  
　　cos（π＋α）= -cosα U,K1m  
9woI%a  
　　tan（π＋α）= tanα /6f]  
P8Obtb1e  
　　cot（π＋α）= cotα 55}je /#  
|gvnx]O  
　　公式三： ''6s@6q"  
![+<-suRE  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： gh gC0mz8  
Gpw;vF:a  
　　sin（-α）= -sinα eK5kUb{  
VG2` 23<  
　　cos（-α）= cosα "NB7t4Oe:  
*Z,!Fx}>  
　　tan（-α）= -tanα 9k?4,m.  
h-$ygiu_'  
　　cot（-α）= -cotα st+PbjB!E  
w($ bR)  
　　公式四： o55h:nO  
(|r>^,u  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： t=dR#8WT  
)"\)qu'Y  
　　sin（π-α）= sinα 2854qL.E  
m?=?)#B  
　　cos（π-α）= -cosα 3pT40&,  
,C23 v.)1  
　　tan（π-α）= -tanα 92.8o`Z  
:!Q<L3Q:i  
　　cot（π-α）= -cotα 2D\?j4w?  
"j_BeZ@  
　　公式五： 0B|;h  
i\2/ ,oW~  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： =}fM=@e})  
K9W,Jy  
　　sin（2π-α）= -sinα R+( D})  
HR.O;} EJ  
　　cos（2π-α）= cosα "WdD n!0  
SfNos3f  
　　tan（2π-α）= -tanα \~] UAG91  
h/?p{hc  
　　cot（2π-α）= -cotα OX`o7]Qg-  
!&x nK~5  
　　公式六： O':|6  
_I*hTR||  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： :|F9Rp Nx0  
=eVWK1 b  
　　sin（π/2+α）= cosα Y7x7dGzZ  
GH)Ny&Kwfw  
　　cos（π/2+α）= -sinα Bi5 JW  
L-H1 prI\  
　　tan（π/2+α）= -cotα :H7 v;8v(  
tUNi6O@vYU  
　　cot（π/2+α）= -tanα &GLH_D,R  
l gK-VA^#"  
　　sin（π/2-α）= cosα d4twK,`  
/4~;yKsG}  
　　cos（π/2-α）= sinα 8Atb@e sG  
 iz 9Y)  
　　tan（π/2-α）= cotα  HqK%5h!  
\:+7X!@LI  
　　cot（π/2-α）= tanα aod!!diK  
S1w !}zBh  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ii_*W+=  
f6]=zG(I\d  
　　cos（3π/2+α）= sinα Gn\p`J/H  
fC[P[qYt5  
　　tan（3π/2+α）= -cotα r XG^2/  
",g$`b/z  
　　cot（3π/2+α）= -tanα =<4QX7O=  
8ESPeNWM  
　　sin（3π/2-α）= -cosα c. 8F.EztJ  
z{$iO% *  
　　cos（3π/2-α）= -sinα d|3(9XIL  
lY%qLP"7H  
　　tan（3π/2-α）= cotα ^e!r;.  
NQuAz>EI  
　　cot（3π/2-α）= tanα @P*nvws+  
o I:T+a 6  
　　(以上k∈Z) q1)SZoZ  
Q> Kr_?  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 fCc9BoG  
MRW #:r{  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 2?,FaDC  
1yH?  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 'tK !-b8  
zUj5lZ  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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