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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ;&Syi*ci  
GZ(HiEs=e  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. t 6g _  
,;Ibmed2  
　　1、三角函数本质： "B8P`y&h  
n[z^SxSS  
　　三角函数的本质来源于定义 l1PrGoD?0<  
fhVM2h\  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 cyht"b[  
(B+sV\OX9  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 `BV|[\3  
m.u~#x#"h  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： B8>^U^`h0  
i*z`t5  
　　推导： !V>-  
lD23yU>b  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 z$r{@ h  
B^S Ew]`  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) b9MmLAQ  
)4K[{1DA#  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) d,=[=>>_D  
#+&R ~`jH  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 m_m\0e  
R4:l>34K  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） #{VQuF  
0aiXau  
　　[1] u5W?:[Fzd  
HPk{#=VE  
　　两角和公式 2Z9CW*/  
&$_r1\ja  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB utD_t "`  
!8c3g  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  FWp$gJ?  
>Km['>H  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB . |ja0~rMV  
Hv72"p*r  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB L7W"%ozN  
-D;#:lpE1  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) kaPHP w%pc  
S)?V&%!  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ,66$=U|9  
r pcC7<e  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  x''R^5|E%  
6j:u_IKi_  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) E GlNBs.  
>zK\0P(  
倍角公式 <)WO1|N  
q d]45 &  
　　Sin2A=2SinA•CosA &R_Z v,  
/uy~B +Q  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ~5'}\iQ\T  
mcvbTm"7  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ,2N7r:Rh  
 NZv:iTo&  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） DJX* 49b  
]tJ3#3[#  
三倍角公式 !s6s(FM7  
#wr "=l_  
　　 -.ePo l  
qmcPXJ+  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) mwWZ.|`  
*s>P a1!:  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) {4*)>)*yy  
[ t4e 6U{  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) QQqHFm4`%  
Hkj8kC  
三倍角公式推导 B,vHQLS  
jxqbX  
　　sin3a (^',x3K9s  
_G0^oF  
　　=sin(2a+a) :Ya a{A  
.i5[9X]  
　　=sin2acosa+cos2asina "H '-K-}7  
r"ZG8LL6L  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina m hOh H  
F+MJ)kxlG  
　　=3sina-4sin³a \$(Vso9  
"=A}x%c  
　　cos3a 1H8FW/l)&  
d'j% _2:'  
　　=cos(2a+a) (`8$. fOJ  
VS;JC_W  
　　=cos2acosa-sin2asina 6GDy=[bb  
0c$|4S8k  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa fe2e.  
QC9Mc}/&-  
　　=4cos³a-3cosa Rd 98N~   
kVL;M!f2  
　　sin3a=3sina-4sin³a ~3<9|n^  
.w `b  
　　=4sina(3/4-sin²a) Y* & g  
1${5rOMT3  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] *6<QzuSx  
3@eLHr>i  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ?T_]0  
rjC\'"^vL  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 3ph*osozD  
-n/2  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] _D;2L)rpn  
+<"pBk` #  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) p/QAv[[  
bX|S9<)<t  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 3cC)4]iJ  
Q|.O"yI  
　　=4cosa(cos²a-3/4) i?+0qfu  
#:rir4R7J  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] \f 7eh  
2\!o ] ''  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) K<6L9t]ys  
7DXh%L!*6  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) h!+XZ A%^  
w GB:WL~  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Cr]Za<m  
*p E OuW  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 2bo#RLs$  
y j@/  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] %[US>H{/C  
&mcE 4  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] z}s$v>  
 n*sw <  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Q4 WB}u  
r{b(zQ8IM  
　　上述两式相比可得 XF2Ib`E*  
RssMcV_E"  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) p6+{,}Xg  
>0S >O/  
半角公式 _neZ5{] d  
Z)g?iOI  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); k,L8`  
$ccd+_x=  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. &!g-2\'m]w  
]GCCVnpe(p  
和差化积 6GfVAyZ8m  
4.JrVw>  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Q5@T(%|},  
Zeo)`S9,  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `k1h?D. QX  
4u&6TIl]  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] h6>X`55,4  
Fyo?Hh8  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] S{nMy{  
DDWSVW;  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) D0tNlaX@S  
diLj:  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ^=*&sz{[0u  
SWZ5tNaC  
积化和差 Ml`{L+?R-  
\1/e4  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] LwF'?w$  
`QsbuJt,  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] gsn:6b2M0  
)*ok+z  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 7}(]tlR*_  
9w%~mGP`b  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 0kB[1  
S[g`gD)Tj  
诱导公式 H{d'#1v  
+h$`\0x>%  
　　sin(-α) = -sinα .*"N-tw  
Mzr9"aTBr  
　　cos(-α) = cosα u94Svhq;  
U_ rq w+  
　　sin(π/2-α) = cosα Zk 7_- rI  
2`CD&DQ4V  
　　cos(π/2-α) = sinα )WZ0Ze1X  
8=}yMU  
　　sin(π/2+α) = cosα _o:C3 V.=  
sI5!>q PMk  
　　cos(π/2+α) = -sinα tB$3jpFBK!  
%;_>yJiW,S  
　　sin(π-α) = sinα L`0STpG  
^yZ8:]'mr  
　　cos(π-α) = -cosα y1r)hO# 0_  
piD}_T6{e  
　　sin(π+α) = -sinα 7vLK Q1M  
^0}OXSl  
　　cos(π+α) = -cosα w~ mCf  
M^yavl,Qx  
　　tanA= sinA/cosA "Yp&@_5  
|Z`D3:_p)  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 4g?2hfYX2  
#Ia%=yQ9E  
　　tan（π/2－α）＝cotα ~ Shm$@P  
zr f9'r  
　　tan（π－α）＝－tanα O R }'  
K! B,{  
　　tan（π＋α）＝tanα /pAvM uUt  
]u/ ggs  
万能公式 -]c{*PAh  
}*v%}92qh  
　　 xx-4;{Ms  
Dc(yBE~HXg  
其它公式 \Hhow(9d  
?<9P wXZ  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Cmkyy3\D1  
^Pjgmh >DB  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ;g5%V+1f  
JldS7VG  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2  &&9kJG  
*MM~[|fS  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 OiXD`swP  
yBr"O?/_  
　　对于任意非直角三角形,总有 t-_D.y  
9PDJ naTh  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <wp,!,Q\  
iLz ZNTOZ  
　　证: `utc F ^"  
ydO;dV "  
　　A+B=π-C \ Z!@[Pi  
W-[!dKz z  
　　tan(A+B)=tan(π-C) "AK E vy?}  
%hA&<B~;`  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) O;jy-`Z;  
:jEc"N  
　　整理可得 Qo|~QMnt%  
%_.JkM+u$  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC A j,&k  
{brY@a`#  
　　得证 "EfiCUp  
bn3P`_\'  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 U\Pj1JM3  
n pKaY.I0|  
其他非重点三角函数 u(-wp+u-  
9A3S?=X  
　　csc(a) = 1/sin(a)  9n>&dx  
U-aq:F}k  
　　sec(a) = 1/cos(a) [ko!w3Bm  
c]R,=CH  
　　 YBC0\x  
mZa[Y  
双曲函数 ,+qg?N4TP  
]\W$IWW  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ^hBlFgQZ  
B2vV.v]XDl  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 M>:Y]8<nU  
=Mj:rtGV1  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) zE6N'(0  
~]H#sdQkX  
　　公式一： L6A}dGnrM  
mToRj Kg  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 6.%y+,UT"@  
*Z PpD  
　　sin（2kπ＋α）= sinα >>]M_XR!  
!}gzC51  
　　cos（2kπ＋α）= cosα pQ^D"%hw  
-7uc<Xw3  
　　tan（kπ＋α）= tanα 7:L48y  
0'`V<SAR  
　　cot（kπ＋α）= cotα onTn OO`-  
6p<hQ  
　　公式二： 9xOG/Doti  
7:vNHu{'  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： :1 ,"Bf  
0-1@~HG>q  
　　sin（π＋α）= -sinα }W# /vj  
awE|h >  
　　cos（π＋α）= -cosα fI5UITq!R  
vuhzx URQ  
　　tan（π＋α）= tanα sfr}% S  
^1$ R&o(  
　　cot（π＋α）= cotα ] &=FRlg4  
Y}jMi.sp  
　　公式三： v2sjSh!/:  
m?(+GI[dq8  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ZV= M)H Z  
R*C%:4/h"  
　　sin（-α）= -sinα _,hxHB:  
dOil5} w,  
　　cos（-α）= cosα =Cox~A+d{w  
~dJ|7*-B  
　　tan（-α）= -tanα DDBDgdSZ  
N %%?pf  
　　cot（-α）= -cotα F5{ },  
Nw_JmC[>+  
　　公式四： ~,P6ig5  
gX*_ub l  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： I t_C;B  
sn!@?)[$V  
　　sin（π-α）= sinα #'y();,  
vHs;B;@SC  
　　cos（π-α）= -cosα . VFF?s(m  
YL, ,9zB=  
　　tan（π-α）= -tanα 78:4kJk{$u  
@@=+v&m/  
　　cot（π-α）= -cotα c*}E*O}$  
M_X [x7@f  
　　公式五： !\ q?4!9"k  
wrAw2khl  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ?n+7Gx  
?@92cX  
　　sin（2π-α）= -sinα Zz8H5uFV/  
#CJXvP_  
　　cos（2π-α）= cosα |FiS`|V`  
WyD 2S>Y  
　　tan（2π-α）= -tanα bzPbg[  
x+/^Rub|H:  
　　cot（2π-α）= -cotα )Hq/ln~  
\h E)Jb$/  
　　公式六： P5o9'Jb?  
fEo ;mX!LG  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ygQ$|;)w\  
+^@FD(-X  
　　sin（π/2+α）= cosα az2w1OszV  
;'H7k`4  
　　cos（π/2+α）= -sinα Sq$ulX-?~  
4Udf2Xf8  
　　tan（π/2+α）= -cotα zm|VJo=@  
F|YS]gr O  
　　cot（π/2+α）= -tanα dm)@b.h j  
vHFe=  
　　sin（π/2-α）= cosα C3*Df^H  
"}R FZ0=M  
　　cos（π/2-α）= sinα ptaL{<QR  
JTD@AlJ   
　　tan（π/2-α）= cotα #- D)q69  
5 o#x3z{  
　　cot（π/2-α）= tanα P )<Uq a  
&~D w!a4  
　　sin（3π/2+α）= -cosα .^{Kv36rv&  
ODl2lC_  
　　cos（3π/2+α）= sinα mR`M=5oG^  
FqZJ}o-&:  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 6*SFS  
]kd%yg?  
　　cot（3π/2+α）= -tanα p0(@ ,&0  
vo93tE)H  
　　sin（3π/2-α）= -cosα !Hux,ao  
q7W L-  
　　cos（3π/2-α）= -sinα `g6uhY3]  
a<-y|p!  
　　tan（3π/2-α）= cotα ^ p\73  
C<L\CCo  
　　cot（3π/2-α）= tanα r_fCQJ0(  
?Tz,*Uk+e  
　　(以上k∈Z) LD3_Ie#<J  
ySW+!nk  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 CcChvz[?=  
mC\y^/fn}  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = K"LCD76  
t0lYa;2[1v  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } \9t.G&`rE  
z0oF RXDS  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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