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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 }1NpG-8  
a >b]"`g^  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 27tDqUlj  
5*8;i/\fc  
　　1、三角函数本质： EI["bxo4h  
f"TOe@x.7  
　　三角函数的本质来源于定义 s'-1< b49  
jyP#o5  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 e|M.Fl$V  
-\0I)KI6s  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 (SJil#  
zHy~zB&  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Jcqx\2dv  
&>P]I|rk  
　　推导： p6R%o%rK  
g G* SE.y  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 J4/ Z%9s\  
`e(JF8P=n  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ;r&T @n  
9bH# CWta{  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) hk[PB48!`  
pJ pTaiui  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 g]FO   
2]Y%~  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Id a>4 (  
.HnsOBOw  
　　[1] 9@OdU 1  
5_} VUI  
　　两角和公式 HgFDJP $  
l7( !ggN  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Do).p]Z$  
2X1 gF  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  g=)XP<.^  
Sd3m1A  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB XF2s4:M  
1 YcS{=z  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB zICVQ?Q-  
ki A8G^  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Z8|&,rN;wA  
: (g{r\  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) pA4BaO[.i  
Qn;$.`8?F  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  IMq8968e  
&V8Xg]b$  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) &?{_HR  
H+#b9 J  
倍角公式 %45bS{} 6  
+HIkaHpu  
　　Sin2A=2SinA•CosA >C$rzXT  
 2"p {  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 @ wE ^*  
L*Qjd eV  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） o K[IU;  
)Uexo?IXf  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） j+ "3r+@  
nnsTRM"5u  
三倍角公式 *_3zve  
4*48^o 8  
　　 oE-`sl;j  
oIf$g  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) )^X{a  
Dl++bRsU  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) (pQ0AMNA  
(dPf[#A@  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ')ZZgCSm  
!YIs~L  
三倍角公式推导 @D TJXrGq  
3QF4i !)  
　　sin3a gB,e6y ?1  
'{JEO)<  
　　=sin(2a+a) r%`nTOEE_  
m_R{G  
　　=sin2acosa+cos2asina BK}NX]ur~  
,cZ},t 8  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina EK(I5p  
Ca dx$q  
　　=3sina-4sin³a S9'_E5o4  
Q#Bbn4C3|  
　　cos3a AtIlLi6Z  
Q/\y^Q  
　　=cos(2a+a) p C)@:v  
I~/w~-  
　　=cos2acosa-sin2asina #E/w*-n`?  
cB4K ~j:;  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa F0hSu=}k  
$Aa,'Pi@  
　　=4cos³a-3cosa %M)/yGHf  
LP::MD=3  
　　sin3a=3sina-4sin³a <p.Gv"{rh  
SN j<%  
　　=4sina(3/4-sin²a) R( U u>e  
CJI4`I  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] E5x">p]b  
c=f{x?Ah  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) .g|0x|Wl  
W"Gh@rSvXc  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Zz-a=ez  
%n_ ,j_D  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ,Twtr{6zG  
%*%opg  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 4RkXf78X)e  
9F(n8ifS8  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ?_bZ@VyY  
k2~3hFE&  
　　=4cosa(cos²a-3/4) zXnRDiV|  
p p!nrHH]  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] EQr?WSKy  
,?\?4V+An~  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ~8>)7[U2b  
Sirjj('v  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) c~SF[qY7'E  
Q J1n  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ybZ\;rVh  
U[GnW. }  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) /n@CiW  
MooAAy]p$  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] O}cDOsC>  
V!m<0F<&D  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 2p?8yuSm  
[iI>2t9T  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) PeA ym76  
s3*t |rz>|  
　　上述两式相比可得 v6c~R!9KBS  
+l NeW %  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 1B[f2T  
e+ N  
半角公式 X}sgD#1q  
1*E98}F}J  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); /? }j<g  
bom#cmrP  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ewf0g>e"  
?=?3l43h  
和差化积 0|~Ws4z  
DRzAAbg  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] nhG)  
[xeFze&Lr  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] "K2O=*;t39  
WtuX0SukL  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] xr;@Qxt  
 VE.X2P   
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :AQT6o5heq  
Go #xy 5  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 0\m|Kh$2D*  
& :6Mj)(ne  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Wa{a5  
U0VGOBSs$p  
积化和差 ]Tt4rB l  
3L]&dO6  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] jq`~Ud  
yuz $  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] e8_`A8.  
4QLC{5  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] =L]xw)fo^  
0MXvyvn  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Lu9ru#.p  
\~ C5{=   
诱导公式 xA^X,p ]  
V{epSqS K  
　　sin(-α) = -sinα b\DWy?m  
=HZJ{#B)  
　　cos(-α) = cosα IJ:}2BvQ  
s-<Ag'j'T  
　　sin(π/2-α) = cosα b Ng r  
:xI4?:  
　　cos(π/2-α) = sinα  =.w'X?  
&Jlk8 eda  
　　sin(π/2+α) = cosα hSg&4hQHK  
{}~2)>q  
　　cos(π/2+α) = -sinα P%!\mrM  
@ .@Nj 4  
　　sin(π-α) = sinα V5% L  
oS 2LTH}o  
　　cos(π-α) = -cosα =]1~-en  
Id~*cp  
　　sin(π+α) = -sinα %XCH=7lu  
yXr9J{"  
　　cos(π+α) = -cosα f$J:Yu<   
Y qUKek[  
　　tanA= sinA/cosA |B[!6^z  
~JlEAx<~  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα GvUxi,  
SWuvYe=eF[  
　　tan（π/2－α）＝cotα  3_G]% `  
*&6 cZ3  
　　tan（π－α）＝－tanα >*n2G=c0  
KAR)xZJ  
　　tan（π＋α）＝tanα '< K{A  
vbW\NE?  
万能公式 L WbR<I  
{eg 3/y  
　　 ;k)2]id_  
pZF%;   
其它公式 x=nb98S  
`>zk2:s \  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 j\!]:6~c  
=5rm2 f#  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 NC@h)h.|  
&C8M7ncA  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 $'JZW9o  
EuXDj-|  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 -j4>iOd  
wwh<:r/Q  
　　对于任意非直角三角形,总有 _Pe}p>$z  
.?kWWI!  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC QlBTo'sL  
"@VF*[8uw  
　　证: ixVG N3dba  
.&C1PW#>?;  
　　A+B=π-C Hh 3FI3M%  
<^x~F0\;N  
　　tan(A+B)=tan(π-C) (Je'#8!}  
4e_sU}u3  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) WjS83#84  
QOfF: )I  
　　整理可得 <3QT59(o6  
k!;O1(*!  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^1d=ric  
]D1k%X^  
　　得证 5|faB*O  
Lgah(&,  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 N>T(3enR2H  
B$}u.ZU  
其他非重点三角函数 # `q2i<@1  
]+,|ae 5+  
　　csc(a) = 1/sin(a) WP Q2v$}  
v>i.x`z  
　　sec(a) = 1/cos(a) E"i(sM  
4?}zu  
　　 \Eb0jIyX  
G +&Lr{Wd  
双曲函数 $Z`s^Q47  
@ <_K.BE  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 bK:8 %6[  
, _Q1-^.  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 %:D/2-:mOC  
IA) T[va  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) /ILA9kz  
~aqnIR/U$z  
　　公式一： <\K6e 1Dq  
H$*C;x#o k  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： OAN"[ h4X  
5<6Fhm]z  
　　sin（2kπ＋α）= sinα C(<2~odc  
uIyA"Ob9rM  
　　cos（2kπ＋α）= cosα d 7uFz[>y  
U%DZw}nhl  
　　tan（kπ＋α）= tanα $*+,r,<B  
B;Tm ;l*  
　　cot（kπ＋α）= cotα e8ZJg 9p  
o\ E|h'C  
　　公式二： | L4)]@&Oh  
oCCP8M5 ,  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： tL0!GMs  
`!x`</  
　　sin（π＋α）= -sinα $+bP'YvJ  
)bkmh*?  
　　cos（π＋α）= -cosα Dx76w_@O  
djajxH  
　　tan（π＋α）= tanα t".I&K  
*7=[\OA}oG  
　　cot（π＋α）= cotα q+x;.a  
NGg_\:!  
　　公式三： $e_ca09#  
NB7k<v  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： [fiz / (7  
{8*H$qp  
　　sin（-α）= -sinα AP5Hx1  
W-<V{!oCF  
　　cos（-α）= cosα -< i0e~  
qG]#^Q V  
　　tan（-α）= -tanα 4N iQSm>Z  
i&,w  
　　cot（-α）= -cotα rO?Vl,q=  
\GK#.  
　　公式四： /f7/q V  
_HQS~p;f7  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： fW'(7  
_'S0q  
　　sin（π-α）= sinα  +${Q1a ^  
I#-T8x[h0(  
　　cos（π-α）= -cosα PW %t  
| x2S7  
　　tan（π-α）= -tanα 1}+9V-  
.L) iwJ  
　　cot（π-α）= -cotα R8& ]$E  
zQYP~?/H  
　　公式五： sL} ?  
^~~Gf,sg,  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： kfZ{I]8*  
F.<9pP O'  
　　sin（2π-α）= -sinα jy-V8] FM  
d:)L`n T4  
　　cos（2π-α）= cosα ROuYqEr=&  
'^YWw%AI  
　　tan（2π-α）= -tanα V/BIjOa)  
M}5 =GW@  
　　cot（2π-α）= -cotα .;7<xhl  
>=%v+)  
　　公式六： ydVvRN  
E*$-+RMV  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： #Aj1y+~V8  
9F;F4 2,  
　　sin（π/2+α）= cosα vrSw*Yw` X  
^ux]/\J4m  
　　cos（π/2+α）= -sinα 7,RRXdi!  
W_KA =Z  
　　tan（π/2+α）= -cotα NHM@lP^.)  
OXV@%  
　　cot（π/2+α）= -tanα T3Wp@CZ  
,< *X^<#  
　　sin（π/2-α）= cosα CP"-WC<o  
M^x|t a  
　　cos（π/2-α）= sinα >o=qmw}WJ  
@WD$AXu  
　　tan（π/2-α）= cotα "IWxc 2qA|  
l=`=s,Ea  
　　cot（π/2-α）= tanα ]{qE]Q]K#'  
j oGR9rYx  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ` :UeRz|  
3 9wCmByvu  
　　cos（3π/2+α）= sinα m`L)@V#v  
Tgu:@@  
　　tan（3π/2+α）= -cotα eOf;l:l`  
kHSZ.WvC.  
　　cot（3π/2+α）= -tanα |o#Ll a  
Wv87_1  
　　sin（3π/2-α）= -cosα c <zeTk  
AsSu6  
　　cos（3π/2-α）= -sinα =qI 2 th  
k>`C$]2  
　　tan（3π/2-α）= cotα [:T$"6c  
B9mK: a=*h  
　　cot（3π/2-α）= tanα -u`6|o ,  
;9AIgr]  
　　(以上k∈Z) %3"40  
/ 1Ma =B  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 =}F,WT~`$  
,'_*1|;h|p  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = kPPeV$i 7  
6DY>UOM}  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 0:\Wb'.Kpj  
hxKK?Ri  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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