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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 7\h] a6|#0  
2t%7d%a:  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ]=,%5tA9  
5?'~DZ)'"  
　　1、三角函数本质： @Bg\:`O&  
xzK Yl \  
　　三角函数的本质来源于定义 ZtKR;+:4  
 MVeP|WU  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 KA,Ni#X  
L~,b ]N  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 H J!.(jx  
BgeA<1h/  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： h5\6d4KS  
>55{}i8ZW  
　　推导： S~Z&xW/  
#@!Bl#tP=  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 piByf{  
gs&{g7%jw}  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) >K+iwWQz  
U^(Bav:T  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) LTP2'qiP  
`2^(?o"Xz#  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 1&R]Z+9%X  
zM-3ye{  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） o^9T  
x/l@uxQ{  
　　[1] wIoGw;orB$  
]"qH zD3  
　　两角和公式 7 $1qQ H`Y  
$ BbUe:y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB S`X9T  
OD>b6-Zq  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  U<t0J0  
64^-#$7  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB +s:M(eP  
YPK91  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB "4*09leX  
`.2lC>|:  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) xew 5k  
iMJq6b  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) *,w?$p(  
}:pj)U!n_  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  iqR2cz^th*  
C*Z&  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) H+B'$P.  
[Y%.U)`  
倍角公式 t 7%~qa5<X  
8: /zYO  
　　Sin2A=2SinA•CosA dO}Gg_IV6  
B$,^IWVn  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 BA`%qem  
w0\\k,;.  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） JYj09{  
o&*fA)] J  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 4 wOtCN]|  
zBW^*oi  
三倍角公式 I_>)B_(J  
?F[7l7  
　　 ^ *TV  
IjC~sf<&v  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) gTs;Bb*  
X^DWdLmr  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tca-C,>p&  
tJI,GC:  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) $4xbAaJp3  
?"c|/ Hqt8  
三倍角公式推导 qUE_=bBC  
4:T Jvw;.  
　　sin3a xH]}Pd_=!;  
V mRIDiY  
　　=sin(2a+a) tg4T=N"Q  
4y*kN:1  
　　=sin2acosa+cos2asina h3!xeiFp  
H-=6OCZ  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ~v0){QF+,  
x [m|i)  
　　=3sina-4sin³a E|Bx> i}  
4.'O87>x+  
　　cos3a {:h8X_| 5=  
G~nnj!Ps  
　　=cos(2a+a) o,5"{wQ  
N. &-H5=@e  
　　=cos2acosa-sin2asina 1?KtFvxs  
4cF\D %N  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa %$# _| ^TO  
sI=O v(.  
　　=4cos³a-3cosa "h5%JD$<e  
2JKUg  
　　sin3a=3sina-4sin³a z On71z  
fX^n!kz2,  
　　=4sina(3/4-sin²a) WxvRt!VbR  
Z xzU  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 0*U k`vDSm  
jM'jhoG<  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 1xnUO'% OV  
/1 02yf  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Ms;%\92  
BAWJ 2`?  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] e% :IvEP*  
j}T/G(k=  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) E \ O %m  
fWCk#|C4s  
　　cos3a=4cos³a-3cosa BokW\=J'  
T?;;J"~)  
　　=4cosa(cos²a-3/4) A:j , x2  
p3R{7ga;M  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] K|G'$c  
@B:}qEk  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ?*1l30  
1{5Q@_s}  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) A 0RRE$do  
|}x -Awy  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} [?$ 57W;  
ZXS4zJ@  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 2 &E xQz22  
^_4i9I1z}  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] P7:'by ;  
^DM13_Z /  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] j6zUx&OpAf  
TkNp0AF,  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) BTOBydQK4  
RF/)Sd2  
　　上述两式相比可得 Nc3J aJD  
YPl`(},  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) m| N79v  
tBA#Fj  
半角公式 r|_8%S?  
Uqy8-o+zr  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,5P,d@)YH5  
/kXn3"n>v  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. (us2l[{8  
B3S M Ox  
和差化积 G4-m*+>  
4y4rbrrd  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 25$wnn>T  
]M aJCy  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] [ #':weM  
.q3j9?{D  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :pXVwtO  
,;/ h8M!  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] V`T!?!  
r\ KM  fx  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) jyS*\( $G  
8t}'m7T  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) vHSrOm  
h9G/0 Y  
积化和差 -8`?I/1G  
hW+sr=lN  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] )Kj'Es*$@  
4F Qf6? i  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] V)Xu ] 5  
spS|;4U-  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] zj>,-]@$  
.m>+&WD  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] lgH2M!  
U5&}-h.g  
诱导公式 DO P9yA~c  
Pa*&Xh9+  
　　sin(-α) = -sinα wZn[b CZ)  
}jiq_G-  
　　cos(-α) = cosα WYVHL]  
(,Sdv 7  
　　sin(π/2-α) = cosα Q6/V`(  
iQ zR|DM#  
　　cos(π/2-α) = sinα -@)G,z<S*i  
5ou_  
　　sin(π/2+α) = cosα bp LI|{ Z  
AnuRJA  
　　cos(π/2+α) = -sinα t8o'@-8  
M T?J  
　　sin(π-α) = sinα ID$ yM{4  
\WEAbQ?H3  
　　cos(π-α) = -cosα ]@otFYfH  
ca8cTBsAd  
　　sin(π+α) = -sinα <;14Wf#y  
Hsm"`U6m62  
　　cos(π+α) = -cosα a_hrqk  
zRDe  
　　tanA= sinA/cosA ] J %0|m=_  
.F9VI@^  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα !g<|-P-  
uGmY= $+N  
　　tan（π/2－α）＝cotα Rl?)9i^zI  
mfH*zQl  
　　tan（π－α）＝－tanα hvx[6T  
wQRZ*+{?U/  
　　tan（π＋α）＝tanα jXVaDg9jz  
.%DqS  
万能公式 = 6(:64(  
<TY@T6  
　　 -n@>%\& ]  
Ss`& KX  
其它公式 c14 .T|  
AONNd K7XO  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 XT9FQpuf  
)MV7xcY&  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 !0EuXCfY  
 eA^`Mv|  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 l,QNG!.  
h}*;a4o)  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 S.iqddQ>9  
'YgUR_!  
　　对于任意非直角三角形,总有 [~!w'@  
Gz'9:r~;S  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC PSY9 N  
QcvwVmDE  
　　证: l<]paJ |  
nEgx y^'  
　　A+B=π-C :UQ{\:Wd  
U w]/-u``  
　　tan(A+B)=tan(π-C) rBzVDt  
#kEv( @4s>  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) QVmlOMt  
A5B>'=  
　　整理可得 -=5HGI OS4  
f-(`ENw  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC  -^L&B b  
-"?\ Q  
　　得证 < f .}.x  
S/r93c6Sb  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 8)I9/@uvb  
A vSZt.  
其他非重点三角函数 /xBy)Oc  
A"X+F3gZz  
　　csc(a) = 1/sin(a) E L23  
+,6l?JdK  
　　sec(a) = 1/cos(a) B?[|,!)B  
C 6BNgez  
　　 [w"Egw  
# l7JNuh  
双曲函数 w,Qp'9^v#  
/>PkPO|c  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ]RGtW.#  
8:4 R$V@O  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 lZp{w  
md 4 t^eu  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) JZE-5Q  
iJX&5t$y  
　　公式一： A ,8}}O  
VZG%\`G  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ?! < v \f  
/2={tvC  
　　sin（2kπ＋α）= sinα co4F Krk1z  
Zuq<V5@2  
　　cos（2kπ＋α）= cosα j+rLDy6J_  
eKC<P:A(  
　　tan（kπ＋α）= tanα Xn^F#=cq  
bgg$cNkv  
　　cot（kπ＋α）= cotα St;t-5O  
]f 8}8 AQ  
　　公式二： {ER.w9;d  
9_<=,u`|vx  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： C,f*$o  
=D(fwZ7msl  
　　sin（π＋α）= -sinα &cx$Te) D+  
*EQ7 |N  
　　cos（π＋α）= -cosα  11m xr)>  
KL;%`"gNf  
　　tan（π＋α）= tanα "U:C|U1  
!9<^SkM/t  
　　cot（π＋α）= cotα wSTR L=`Z  
^`q7YxD  
　　公式三： 7>Q +SW  
'QKB Yq.z  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： k+Q$ 5;x  
%S;xg9o"  
　　sin（-α）= -sinα Wg[2e D  
Wo Kg0w$Yp  
　　cos（-α）= cosα M<&{50NC"  
e!c#.s'WS  
　　tan（-α）= -tanα j\ JT6P  
0&^JBxG  
　　cot（-α）= -cotα Y"aN}N  
~QkbGiP3\+  
　　公式四： :~d+,1(AB  
'KgdSKT&^  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ~e3Q%.  
p{_T@ Oy  
　　sin（π-α）= sinα B*W`Q@Fxr  
SJe8MmpyQ  
　　cos（π-α）= -cosα lx gBFf'!  
mCK#\2 (  
　　tan（π-α）= -tanα *T!VT"u o  
9[mCg[9  
　　cot（π-α）= -cotα , &zy!U.(  
}hF ^#t[  
　　公式五： G#urjE  
 W=vB:}  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： K eQk=% Z  
qs+ 9Ixy{  
　　sin（2π-α）= -sinα <^V11Ytq  
m3Q!an5@k  
　　cos（2π-α）= cosα #aN ur#}  
|Zh],mb^T  
　　tan（2π-α）= -tanα 6&mwkm'  
j5]Pz!'(a  
　　cot（2π-α）= -cotα GMc0^]LGi  
US}=^^@a  
　　公式六： C0mo1oPt  
}{fjU&T3  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： w/o+ $  
:od9MLFu]}  
　　sin（π/2+α）= cosα ^?@_9[W  
; %6h  
　　cos（π/2+α）= -sinα =Nx0gQIj  
bln6P{kc}K  
　　tan（π/2+α）= -cotα <E^p;.E9"  
a'PF MuQ  
　　cot（π/2+α）= -tanα Cugp84ddxd  
CF""_Nz  
　　sin（π/2-α）= cosα g~YnS{  
(TU(O\j(  
　　cos（π/2-α）= sinα 88joYI;Lv  
W>fh# OY  
　　tan（π/2-α）= cotα !! zK*bb  
i1/[@\T  
　　cot（π/2-α）= tanα wMeO*gyY  
v$bJ5  
　　sin（3π/2+α）= -cosα XL[]]g P_  
5eDj&04  
　　cos（3π/2+α）= sinα . gu~mU  
w_BcR&f)<  
　　tan（3π/2+α）= -cotα _]T{-:e.  
fl;<wb?]Bg  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 6A$a]We  
ecAQ]FLB  
　　sin（3π/2-α）= -cosα p W.@,7  
g-?$?  
　　cos（3π/2-α）= -sinα HC*}VT9k  
|`^\ M|  
　　tan（3π/2-α）= cotα D fDcU'  
,by!@+%Mv#  
　　cot（3π/2-α）= tanα Gda<*+Ds  
8lo^Uw~  
　　(以上k∈Z) fI) H  
6IY_H/Vc  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Og7W5|y  
o>C<mo4@  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = d@~z\v&aWA  
YwH*y$  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 8zEU%?M  
.* 11 mo  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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