三角函数内容规律 }1NpG-8
a >b]"`g^
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 27tDqUlj
5*8;i/\fc
1、三角函数本质: EI["bxo4h
f"TOe@x.7
三角函数的本质来源于定义 s'-1<b49
jyP#o 5
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 e|M.Fl$V
-\0I)KI6s
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 (SJil#
zHy~zB&
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: Jcqx\2dv
&>P]I|rk
推导: p6R%o%rK
g
G*
SE.y
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 J4/Z%9s\
`e(JF8P=n
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ;r&T @n
9bH#
CWta{
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) hk[PB48!`
pJ pTaiui
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 g]FO
2]Y%~
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) Id a>4 (
.HnsOBOw
[1] 9@Od U1
5_}VUI
两角和公式 HgFDJP $
l7(!ggN
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Do).p]Z$
2X1 gF
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB g=)XP<.^
Sd3m1A
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB XF2s4:M
1
YcS{=z
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB zICVQ?Q-
ki A8G^
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Z8|&,rN;wA
: (g{r\
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) pA4BaO[.i
Qn;$.`8?F
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) IMq8968e
&V8Xg]b$
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) &?{_HR
H+#b9
J
倍角公式 %45bS{} 6
+HIkaHpu
Sin2A=2SinA•CosA >C$rzXT
2"p{
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 @wE^*
L*QjdeV
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) o
K[IU;
)Uexo?IXf
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) j+"3r+@
nnsTRM"5u
三倍角公式 *_3zve
4*48^o
8
oE-`sl;j
oIf$g
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) )^X{a
Dl++b RsU
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) (pQ0AMNA
(dPf[#A@
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ')ZZgCSm
!YIs~L
三倍角公式推导 @DTJXrGq
3QF4i !)
sin3a gB,e6y?1
'{JEO)<
=sin(2a+a) r%`nTOEE_
m_R{G
=sin2acosa+cos2asina BK}NX]ur~
,cZ},t 8
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina EK(I5p
Cadx$q
=3sina-4sin³a S9'_E5o4
Q#Bbn4C3|
cos3a AtIlLi6Z
Q/\y^Q
=cos(2a+a) p C)@:v
I~/w~-
=cos2acosa-sin2asina #E/w*-n`?
cB4K~j:;
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa F0hSu=}k
$Aa,'Pi@
=4cos³a-3cosa %M)/yGHf
LP::MD=3
sin3a=3sina-4sin³a <p.Gv"{rh
SNj<%
=4sina(3/4-sin²a) R(
U
u>e
CJI4`I
=4sina[(√3/2)²-sin²a] E5x">p]b
c=f{x?Ah
=4sina(sin²60°-sin²a) .g|0x|Wl
W"Gh@rSvXc
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Zz-a=ez
%n_ ,j_D
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ,Twtr{6zG
%*%opg
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 4RkXf78X)e
9F(n8ifS8
cos3a=4cos³a-3cosa ?_bZ@VyY
k2~3hFE&
=4cosa(cos²a-3/4) zXnRDiV|
p
p!nrHH]
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] EQr?WSKy
,?\?4V+An~
=4cosa(cos²a-cos²30°) ~8>)7[U2b
Sirjj('v
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) c~SF[qY7'E
QJ1n
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ybZ\;rVh
U[GnW.}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) /n@CiW
MooAAy]p$
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] O}cDOsC>
V!m<0F<&D
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 2p?8yuSm
[iI>2t9T
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) PeA ym76
s3*t
|rz>|
上述两式相比可得 v6c~R!9KBS
+l
NeW
%
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 1B[f2T
e+
N
半角公式 X}sgD#1q
1*E98}F}J
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); /? }j<g
bom#cmrP
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ewf0g>e"
?=?3l43h
和差化积 0|~Ws4z
DRzAAb g
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] nhG)
[xeFze&Lr
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] "K2O=*;t39
WtuX0SukL
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] xr;@Qxt
VE.X2P
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :AQT6o5heq
Go
#xy 5
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 0\m|Kh$2D*
&:6Mj)(ne
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
Wa{a5
U0VGOBSs$p
积化和差 ]Tt4rB
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3L]&dO6
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]
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yuz$
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] e8_`A8.
4QLC{5
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] =L]xw)fo^
0MXvyvn
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Lu9ru#.p
\~C5{=
诱导公式 xA^X,p ]
V{epSqS K
sin(-α) = -sinα b\DWy?m
=HZJ{#B)
cos(-α) = cosα IJ:}2BvQ
s-<Ag'j'T
sin(π/2-α) = cosα b
Ng r
:xI4?:
cos(π/2-α) = sinα
=.w'X?
&Jlk |