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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 9=4Di^s  
Z&k<V_xeR  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. n ,kh: 5  
X>Gm/8 L  
　　1、三角函数本质： ezV_[  
:/i 9f4}Z  
　　三角函数的本质来源于定义 kc QUhx  
,f$9!!E  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 onLSIK:  
}5N RdGD  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 l-BX'(yz@  
\ ilJi>p  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： wq$A]j~  
]BsF?XVw  
　　推导： 4h3t/R[\  
,@~#&4pa  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 CeaK o q/  
-K^a]R  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) pP7hbSz  
xE9=C.l\V  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) SdoBrQ|F  
OM8BTB*  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 &zjnH=   
b8 ,44$[  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） EgW,ZbQRx  
u98dXS  
　　[1] D}0XU#8=  
__*M4VoT2  
　　两角和公式  r0"L}*~  
9`;wrDomc  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB zH&?7:  
]$[09:  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  r,kft/9dTl  
ky,&L C9C  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @I<Fo&M  
=" QZ%7f   
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB DFQNZ E)}/  
c*TgoAG  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) \ )Dv ;[  
?nMrD;V[  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) WjiONr>y  
R<I0\{=}  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  9YiT +_  
,9UGc9|_L  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) #veX[G  
BgRaHgHXY  
倍角公式 8 *r23R  
/2]~Tse   
　　Sin2A=2SinA•CosA FlL*#w-T_  
"a6 MdV  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 WHfS :B]I  
SlYsLxBXD  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Z3av  
 -dm/,0y  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） rk#g^864  
;S?1x<EW&  
三倍角公式 X_UK#,,>  
EH{dj./X~  
　　 3IMmx A  
J0Vig"A  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) <=j#^ mc  
8Sn][b\1  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 8&/R;5  
fvadm0n  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) GH\!lK'h.v  
74?B2*M"_  
三倍角公式推导 %q'ZuD  
f[\PsEI  
　　sin3a 33x@v&d  
%AL:-vm  
　　=sin(2a+a) Ao r9d*B  
[$t:__  
　　=sin2acosa+cos2asina 9;*9G:)]  
Lt__4M#=  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ueS&xDmT  
>BP0QpT  
　　=3sina-4sin³a u=?r CVj1  
( P6IXZ%  
　　cos3a rA!VM*Q&  
v=gAA|8}  
　　=cos(2a+a) @reB;[  
y1ewOV;Z,  
　　=cos2acosa-sin2asina '7!Eag$  
k/d)Q(,~  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa +B-HtAYk  
"o`iH5/  
　　=4cos³a-3cosa ;,W.` Z"  
WfU>H=)  
　　sin3a=3sina-4sin³a ,mSfY>=u  
efPz  `Y  
　　=4sina(3/4-sin²a) I7A .7' X  
i\X8:  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Cr\.YmM  
Xi)?Yd  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) MLd[3>c  
vpT0?O  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) a0YlaqG  
.!l#lGRruV  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] {PS8<R=N  
=vTQ<(I  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) m IKWI9L  
|^(-btc#hw  
　　cos3a=4cos³a-3cosa }l"F- ,H  
\(~|9bQ-  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 'Bo^j" BY5  
Qi!B/@M  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] nt /e-$ky  
(Wdihn>  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) prR 2{P  
Y{ }c$3snH  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Xd7p>Uc%  
dhpnaZ'hy!  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} vgkMxkNb  
ONqHXz  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Q*t&/8]qE  
.|E`/R>tv  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ox:OI  
J9jDd7=  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 7;~UYJl7  
?s2Xa:Q}]  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) k] [3w(<3  
FI!83pSo  
　　上述两式相比可得 GsY%TTg  
^_S rsP`  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) b"A:NLeGyc  
bwo\@pu}  
半角公式 >XZs0N>2T  
W\,C ;E  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); {bo ZMY  
X-(KeSu&MC  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. N3?2b'#  
|k'mWF[  
和差化积 ,ZT[>  
ay";_< !  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] M50,n;  
4c,]g7=  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] N:ON9Jp$Y  
A~}A-s5xc  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] X2\n1]$D*  
=9n bV\I  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _}1Y+  
=a %@c0nWa  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) lj|*q)s_2  
^>~E' NY  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) hY,i  
"L0=*v)Q  
积化和差 >CGoC%iSTM  
fg0K`)ek  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] sayYC h[C  
'2uTG|$  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] gk*Uxm$#K  
pq!Un< j  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] (ylb FX  
; C|r  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] p 7hb6   
]Q@-8zx  
诱导公式 KV<CiK ~  
#UXi[=  
　　sin(-α) = -sinα {x!{,~K 9  
y#7sZvP  
　　cos(-α) = cosα M+/p !Ok  
szS|1[bv2  
　　sin(π/2-α) = cosα *61NCh9  
Q6@;  
　　cos(π/2-α) = sinα xv!bj *  
~Z~QAtPq  
　　sin(π/2+α) = cosα yu Uv  
j* b:T  
　　cos(π/2+α) = -sinα PRCS9W-gF6  
U +r[-M  
　　sin(π-α) = sinα RI .P*yj@  
QhI>\  
　　cos(π-α) = -cosα oicPJ'w=  
j\wF#g}  
　　sin(π+α) = -sinα -5OGw?  
j x{L7(v  
　　cos(π+α) = -cosα 0jk8$_  
fi$-IeFD  
　　tanA= sinA/cosA Kid ]Q2  
Z=UF@Mt`  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα )3g,PUrbi  
)oM oy'u  
　　tan（π/2－α）＝cotα c>9[MvL*  
8?F{yfMl^  
　　tan（π－α）＝－tanα 1{ 3B^,  
`A8B@V ?y\  
　　tan（π＋α）＝tanα kfo&!6  
up ;so:9v  
万能公式 ^iV.4^  
m/VC}c!)?  
　　 ou2tb*  
bN+V?]%W$M  
其它公式 PZ{iuWF  
p!+2{w#5  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 G3P=gh  
\Db,Y4x^M  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ?(>^_)Q_'  
T t3&zkY0  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 uD$wa :  
+uetp7N  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ,x!Xl}.  
uxfwn+VFk  
　　对于任意非直角三角形,总有 sC+Jm1dqS6  
&}5ImVRN9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *e^C bB}  
f9p3!y6`wE  
　　证: U) =[,  
HX i^a-J  
　　A+B=π-C ;A~ n]{G\  
*PA5+p j(  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ?T jZ3'j  
"r\K^0{  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) _0Fs79s  
*hXCH]$G%  
　　整理可得 k@hDW ~(  
$E/wYB1  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *jz] bIE5i  
{= { &  
　　得证 S22U<OO)  
1  o52  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Mi7L4hT  
aGig9pR  
其他非重点三角函数 }.jM:a  
oxwU[IGj  
　　csc(a) = 1/sin(a) y .K2)L  
3xiUp!S,  
　　sec(a) = 1/cos(a) vE{+j'  
^#EvdME  
　　 P mIt  
k' #CI  
双曲函数 eJ=[:i/'  
]6szTvYS  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 IddtBFy  
<`[hJ3  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2  U0  
DS 3+>X w  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) p"wv5Nr  
A,)a;}  
　　公式一： :`ozM  
UXBC;'}  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： m (j/,PB  
LHX(F/?zn  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 9%_bsv+  
oz9lT6=|s  
　　cos（2kπ＋α）= cosα +GT_CT(  
H Y{!B  
　　tan（kπ＋α）= tanα ^qZOMJ8VI  
]m}pyXtdE  
　　cot（kπ＋α）= cotα iHl/j  
jW,C&%Sa  
　　公式二： 6(x IYe  
:r/:LF#w  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： NB"$V  
:dX9:{mrv  
　　sin（π＋α）= -sinα GAgYrv  
!T4FXZ  
　　cos（π＋α）= -cosα FUt_B|J g  
Q?lQ6p  
　　tan（π＋α）= tanα l$\Rq1kNJ  
EN 4(/Qu  
　　cot（π＋α）= cotα > j|\  
x iXY?8  
　　公式三： IN0d `  
qP'h mhV  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ;hV#E&&b>  
M{r(6fV`B  
　　sin（-α）= -sinα rNO $1eq9  
EQ68C;XS  
　　cos（-α）= cosα -%vBe8 r_  
DB zo  
　　tan（-α）= -tanα }8D7c|  
/<Xey#+  
　　cot（-α）= -cotα !!;a|NIJR  
BR06 jH$  
　　公式四： _PZ,(Q4q  
XrOF9E_}X  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 12kRxX  
mV~+iTUxP  
　　sin（π-α）= sinα v#"?15h  
C*J0t  
　　cos（π-α）= -cosα M+UJ$ L  
 |;5e> ;  
　　tan（π-α）= -tanα C^g$Pd=|s'  
)+(#y_V:  
　　cot（π-α）= -cotα f[ Qw  
-})Ucs^Xu  
　　公式五： Ol!VYPwV  
hGt50b'  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： gWq 91  
OuCx5X#T  
　　sin（2π-α）= -sinα ,YsiY{*sT  
K=N"St\4  
　　cos（2π-α）= cosα <{k^89xbS  
gAW2W5   
　　tan（2π-α）= -tanα +X/)aFLK~  
j; hF)@b7  
　　cot（2π-α）= -cotα K^A"CNU  
q15m1%&o  
　　公式六： abY(jqP  
)es7 QU]=  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： oR=zR@+c0  
uw2mFG-y  
　　sin（π/2+α）= cosα |k&` WUAg  
_V7[D5Qs#  
　　cos（π/2+α）= -sinα 7D65O  
'F>PI  
　　tan（π/2+α）= -cotα ofqv{"/  
,<[O~Sn  
　　cot（π/2+α）= -tanα x3bS:=~IJ4  
[Bxun\ O"x  
　　sin（π/2-α）= cosα (aC0YE  
s b8_7G:UZ  
　　cos（π/2-α）= sinα M\#f2y3+  
IMA'1  
　　tan（π/2-α）= cotα xJp.' (  
Wv/x0S   
　　cot（π/2-α）= tanα *?tjf i)6  
-EU>'(Xe%  
　　sin（3π/2+α）= -cosα |zjiETm(  
n$ 0-^ U  
　　cos（3π/2+α）= sinα ]T7_"G?uH  
L)(]K;  
　　tan（3π/2+α）= -cotα V72:[:r+\  
FJ*52#_Z  
　　cot（3π/2+α）= -tanα v{Q42  
]&s|}jlV.c  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ]8":Ly!  
xMu,}n)M  
　　cos（3π/2-α）= -sinα "I'xqU}x>b  
|-fazK8KM  
　　tan（3π/2-α）= cotα 1CXH(K+Y^  
;}TgO$">'  
　　cot（3π/2-α）= tanα &Mj)$V4Gg  
oY \<BwW  
　　(以上k∈Z) _va\d  
MB]F:fh9~  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 D3G7\*b{  
J;zd~#/  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = gqQN`Ol=  
'PuS9Z.  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ;pO()4ea  
El<A7  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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