三角函数内容规律 9=4Di^s
Z&k<V_xeR
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. n
,kh:5
X>Gm/8
L
1、三角函数本质: ezV_[
:/i
9f4}Z
三角函数的本质来源于定义 kc
QUhx
,f$9!!E
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 onLSIK:
}5NRdGD
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 l-BX'(yz@
\ ilJi>p
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: wq$A]j~
]BsF?XVw
推导: 4h3t/R[\
,@~#&4pa
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 CeaKo q/
-K^a]R
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) pP7hbSz
xE9=C.l\V
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) SdoBrQ|F
OM8BTB*
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 &zjnH=
b8 ,44$[
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) EgW,ZbQRx
u98dXS
[1] D}0XU#8=
__*M4VoT2
两角和公式
r0"L}*~
9`;wrDomc
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB zH&?7:
] $[09:
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB r,kft/9dTl
ky,&LC9C
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB @I<Fo&M
="QZ%7f
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB DFQNZE)}/
c*TgoAG
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) \)Dv
;[
?nMrD;V[
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) WjiONr>y
R<I0\{=}
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 9YiT
+_
,9UGc9|_L
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) #veX[G
BgRaHgHXY
倍角公式 8
*r23 R
/2]~Tse
Sin2A=2SinA•CosA FlL*#w-T_
"a6MdV
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 WH fS
:B]I
SlYsLxBXD
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) Z3av
-dm/,0y
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) rk#g^864
;S?1x<EW&
三倍角公式 X_UK#,,>
EH{dj./X~
3IMmx
A
J0Vig"A
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) <=j#^ mc
8Sn][b\1
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 8&/R;5
fvadm0n
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) GH\!lK'h.v
74?B2*M"_
三倍角公式推导 %q'Zu D
f[\PsEI
sin3a 33x@v&d
%AL:-vm
=sin(2a+a) Ao r9d*B
[$t:__
=sin2acosa+cos2asina 9;*9G:)]
Lt__4M#=
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ueS&xDmT
>BP0QpT
=3sina-4sin³a u=?rCVj1
( P6IXZ%
cos3a rA!VM*Q&
v=gAA|8}
=cos(2a+a) @reB;[
y1ewOV;Z,
=cos2acosa-sin2asina '7!Eag$
k/d)Q(,~
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa +B-HtAYk
"o`iH5/
=4cos³a-3cosa ;,W.`
Z"
WfU>H=)
sin3a=3sina-4sin³a ,mSfY>=u
efPz
`Y
=4sina(3/4-sin²a) I7A.7'
X
i\X8:
=4sina[(√3/2)²-sin²a] Cr\.YmM
Xi)?Yd
=4sina(sin²60°-sin²a) MLd[ 3>c
vpT0?O
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) a0YlaqG
.!l#lGRruV
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] {PS8<R=N
=vTQ<(I
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) mIKWI9L
|^(-btc#hw
cos3a=4cos³a-3cosa }l"F-
,H
\(~|9bQ-
=4cosa(cos²a-3/4) 'Bo^j"
BY5
Qi!B/@M
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] nt /e-$ky
(Wdihn>
=4cosa(cos²a-cos²30°) prR 2{P
Y{ }c$3snH
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Xd7p>Uc%
dhpnaZ'hy!
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} vgkMxkNb
ONqHXz
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Q*t&/8]qE
.|E`/R>tv
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ox:OI
J9jDd7=
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 7;~UYJl7
?s2Xa:Q}]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) k][3w(<3
FI!83pSo
上述两式相比可得 GsY% TTg
^_SrsP`
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) b"A:NLeGyc
bwo\@pu}
半角公式 >XZs0N>2T
W\,C ;E
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); {bo
ZMY
X-(KeSu&MC
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. N3?2b'#
|k'mWF[
和差化积 ,ZT[>
ay";_<
!
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] M50,n;
4c,]g7=
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] N:ON9Jp$Y
A~}A-s5xc
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] X2\n1]$D*
=9n bV\I
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _}1Y+
=a
%@c0nWa
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) lj|*q)s_2
^>~E' NY
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) hY,i
"L0=*v)Q
积化和差 >CGoC%iSTM
fg0K`)ek
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] sayYCh[C
'2uTG|$
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] gk*Uxm$#K
pq!Un< j
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] (ylb
FX
; C|r
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] p
7hb6
]Q@-8zx
诱导公式 KV<CiK ~
#UXi[=
sin(-α) = -sinα {x!{,~K
9
y#7sZv P
cos(-α) = cosα M+/p !Ok
szS|1[bv2
sin(π/2-α) = cosα *61NCh9
Q6@;
cos(π/2-α) = sinα xv!bj *
~Z~QAtPq
sin(π/2+α) = cosα yuUv
j*b:T
cos(π/2+α) = -sinα PRCS9W-gF6
U
+r[-M
sin(π-α) = sinα RI.P*yj@
QhI>\
cos(π-α) = -cosα oicPJ'w=
j\wF#g}
sin(π+α) = -sinα -5OGw?
j
x{L7(v
cos(π+α) = -cosα 0jk8$_
fi$-IeFD
tanA= sinA/cosA Kid ]Q2
Z=UF@Mt`
tan(π/2+α)=-cotα )3g,PUrbi
)oMoy'u
tan(π/2-α)=cotα c>9[MvL*
8?F{yfMl^
tan(π-α)=-tanα 1{ 3B^,
`A8B@V
?y\
tan(π+α)=tanα kfo&!6
up;so:9v
万能公式 ^iV.4^
m/VC}c!)?
ou2tb*
bN+V?]%W$M
其它公式 PZ{iuWF
p!+2 {w#5
(sinα)^2+(cosα)^2=1 G3P=gh
\Db,Y4x^M
1+(tanα)^2=(secα)^2 ?(>^_)Q_'
Tt3&zkY0
1+(cotα)^2=(cscα)^2 uD$wa :
+uetp7N
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ,x!Xl}.
uxfwn+VFk
对于任意非直角三角形,总有 sC+Jm1dqS6
&}5ImVRN9
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *e^C bB}
f9p3!y6`wE
证: U)
=[,
HX
i^a-J
A+B=π-C ;A~
n]{G\
*PA5+p
j(
tan(A+B)=tan(π-C) ?TjZ3'j
"r\K^0{
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) _0Fs79s
*hXCH]$G%
整理可得 k@hDW~(
$E/wYB1
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC *jz] bIE5i
{= {
&
得证 S22U<OO)
1
o52
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Mi7L4hT
aGig9pR
其他非重点三角函数 }.jM:a
oxwU[IGj
csc(a) = 1/sin(a) y
.K 2)L
3xiUp!S,
sec(a) = 1/cos(a) vE{+j'
^#EvdME
P
mIt
k'
#CI
双曲函数 eJ=[:i/'
]6szTvYS
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 IddtBFy
<`[hJ3
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 U0
DS 3+>Xw
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) p"wv5Nr
A,)a;}
公式一: :`ozM
UXBC;'}
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: m
(j/,PB
LHX(F/?zn
sin(2kπ+α)= sinα 9%_ bsv+
oz9lT6=|s
cos(2kπ+α)= cosα +GT_ CT(
H
Y{!B
tan(kπ+α)= tanα ^qZOMJ8VI
]m}pyXtdE
cot(kπ+α)= cotα iHl/j
jW,C&%Sa
公式二: 6(x IY e
:r/:LF#w
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: NB"$V[y
:dX9:{mrv
sin(π+α)= -sinα GAgYrv
!T4FXZ
cos(π+α)= -cosα FUt_B|J g
Q?lQ6p
tan(π+α)= tanα l$\Rq1kNJ
EN
4(/Qu
cot(π+α)= cotα > j|\
x
iXY?8
公式三: IN0d
`
qP'hmhV
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: ;hV#E&&b>
M{r(6fV`B
sin(-α)= -sinα rNO$1eq9
EQ68C;XS
cos(-α)= cosα -%vBe8
r_
DB
zo
tan(-α)= -tanα }8D7c|
/<Xey#+
cot(-α)= -cotα !!;a|NIJR
BR06jH$
公式四: _PZ,(Q4q
XrOF9E_}X
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: 12kRxX
mV~+iTUxP
sin(π-α)= sinα v#"?15h
C*J0t
cos(π-α)= -cosα M+UJ$ L
|;5e>;
tan(π-α)= -tanα C^g$Pd=|s'
)+(#y_V:
cot(π-α)= -cotα f[ Qw
-})Ucs^Xu
公式五: Ol!VYPwV
hGt50b'
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: gWq 91
OuCx5X#T
sin(2π-α)= -sinα ,YsiY{*sT
K=N"St\4
cos(2π-α)= cosα <{k^89xbS
gAW2W5
tan(2π-α)= -tanα +X/)aFLK~
j; hF)@ b7
cot(2π-α)= -cotα K^A"CNU
q15m1%&o
公式六: abY(jqP
)es7QU]=
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: oR=zR@+c0
uw2mFG-y
sin(π/2+α)= cosα |k&`
WUAg
_V7[D5Qs#
cos(π/2+α)= -sinα 7D65O
'F>PI
tan(π/2+α)= -cotα ofqv{"/
,<[O~Sn
cot(π/2+α)= -tanα x3bS:=~IJ4
[Bxun\
O"x
sin(π/2-α)= cosα (aC0YE
sb8_7G:UZ
cos(π/2-α)= sinα M\#f2y3+
I MA'1
tan(π/2-α)= cotα xJp.'
(
Wv/x0S
cot(π/2-α)= tanα *?tjf
i)6
-EU>'(Xe%
sin(3π/2+α)= -cosα |zjiETm(
n$ 0-^ U
cos(3π/2+α)= sinα ]T7_"G?uH
L) (]K;
tan(3π/2+α)= -cotα V72:[:r+\
FJ*52#_Z
cot(3π/2+α)= -tanα v{Q42
]&s|}jlV.c
sin(3π/2-α)= -cosα ]8":Ly!
xMu,}n)M
cos(3π/2-α)= -sinα "I'xqU}x>b
|-fazK8KM
tan(3π/2-α)= cotα
1CXH(K+Y^
;}TgO$">'
cot(3π/2-α)= tanα &Mj)$V4Gg
oY
\<BwW
(以上k∈Z) _ va\d
MB]F:fh9~
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 D3G7\*b{
J;zd~#/
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = gqQN`Ol=
'PuS9Z.
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ;pO()4ea
El<A7
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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