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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 u2Njo.#7R  
7ZySN:i  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 1d\VYz9 >  
$79+(=Q  
　　1、三角函数本质： 3CF0b5._  
/1qfd)29J  
　　三角函数的本质来源于定义 6`1@}hG'T/  
JX#hP1#  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 i 6N+-q>  
JM45d;  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 0Lz;|R[c  
Zk"wJ_o  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： "8`ev Jv]  
{l/{JP  
　　推导： CFHR-NG @_  
-dy`  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 0 _ R1E8  
)hJ '&9~  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ^r+G5 f  
6Q4&c"*4  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 7Fgk3)  
^U=A?!\\O  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 |[Tdki5  
iHM:q>lHv  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） BB +3#<x  
'HS )N/RQT  
　　[1] tnW,8ZTy  
B0JYwI  
　　两角和公式 [*< $z  
vo o_pw'=  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Moq<hM  
((l}LPQu  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  V~(2zM bh  
igV3K<  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ,k8p{o3q"  
oz[')F=  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ?LNRFTWel  
fZ\OKHHL'x  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) lX~UXc^o  
&BNDkjr  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) +B\AAn}  
MWcMp_GZ  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  )3n^[ Jt{  
_v7qx'GvI  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)  !eMJ9  
B 2OuA~s  
倍角公式 G$A406U  
w)QeC^ s  
　　Sin2A=2SinA•CosA {:+wyMi  
R@7#6COU  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 t|M;LsZ+3  
?3[/W|GIB  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 4W`{tRU9 r  
-/4|h  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） aGl5G<1y  
>t=5 8d1  
三倍角公式 9GzWz$#m-  
,|-t'3M  
　　 _1Cd`S?p  
uk/FCzhKS  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) f6i9M;Pe  
;L<6 sR  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ]==hq<si  
Yv/a&!|[C  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) P QpR(  
g, 6HNU  
三倍角公式推导 c_L|)y  
NR )C [7Z  
　　sin3a ^o_&/U3{  
$X@ 3! wW  
　　=sin(2a+a) ce/'9)73  
9kj331M1T  
　　=sin2acosa+cos2asina eLH~Vk|d  
YQV[))R?  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina FHHO%s  
<AQ(P(IM  
　　=3sina-4sin³a 8X }*K.z  
#MXf 3Le  
　　cos3a tA:hNi{  
3`3v;gF*n  
　　=cos(2a+a) dfNkXQKZ  
S%fi$W= -J  
　　=cos2acosa-sin2asina G8S7>B!  
J oXt#fRP  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa c~jf_"sux  
; [Dp!%&  
　　=4cos³a-3cosa {Rt`(IY  
F\L;aq?)  
　　sin3a=3sina-4sin³a % Og\e^7  
v]_R"   
　　=4sina(3/4-sin²a) U$t6*C  
clw+O?d`  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 6o8OS)J  
=1JRfjW  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Bz<A<}i30  
eA1=au  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ";"L\  
^UzNyvn'y  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] [J\b6W%:  
A7>ljE  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ~ [_I9shw  
n'RfXxY(v  
　　cos3a=4cos³a-3cosa *|XGW|   
bQ ` 5e  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ? HsA!@&  
O` 4 ~  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ` g"H#t  
JGO wi  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) za,sZ& ,  
A%">.JpX-?  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) H^/Xl  
}7d#h cj  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} &X*p;n.g  
z,4q %4Lu  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) g((B5  
Udj?RQnHKp  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] !.U9WSwF  
-P[! i P  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] sIh{4>8~  
{x]%a9s[.  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) $67+=lQni  
)*CF$B8}j  
　　上述两式相比可得 4 |E}=)3];  
czX1Er[e  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 6^hi$I`  
-.U78:M?  
半角公式 b/sS|8_!  
Vx<MFqT  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ~7i%Uc:B|  
7nb+AKS  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ;/*t8Y{,  
u M h6`s  
和差化积 J-a_U]Ds  
"b Dh,i  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] \_ksue?-l  
pAF3a&=  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] E]yXfd:z4  
hnGYfbb@  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 9^K!`[s?  
~Fk1ulb|`  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] LP,S B4  
Svyc@DO8o  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ~mcUA~y  
?!UE '<'/  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) D[g 1E5,  
PFm R~=)  
积化和差 oVa/wE  
9\j" 8'  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] &ac4lg008  
sm L5e1P0  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 8\s y>Le  
CzIn& X  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] UQ@J{Mc  
IUs+)dO  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 9yU{xN +  
5x2reb)&F  
诱导公式 C)f%/$` ?  
vWg4:zX S  
　　sin(-α) = -sinα IB%K{}+F#>  
NZ)eV4<  
　　cos(-α) = cosα 'H q: @Ui  
i%(!A7j  
　　sin(π/2-α) = cosα @Q[ExZU  
uiUT:$I  
　　cos(π/2-α) = sinα wv 4#YOv"  
01)9 qfB-  
　　sin(π/2+α) = cosα r o${8 eb  
-rGxHs1  
　　cos(π/2+α) = -sinα GEG4&  ;  
 Vaqj+T  
　　sin(π-α) = sinα kc|&=uol  
=uoyr5>H  
　　cos(π-α) = -cosα =6fvr*P  
V2JR7.k  
　　sin(π+α) = -sinα B6a>S.  
QZ]kwnsq  
　　cos(π+α) = -cosα ?6k\D   
1 <Q nPDHc  
　　tanA= sinA/cosA <Csr k8w_g  
LqCHc{8X  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα u_w7Tbp  
*2/yLPi  
　　tan（π/2－α）＝cotα @jg>s  
2$9sN@x  
　　tan（π－α）＝－tanα <3vBm`dh  
Sf\PZ1Z.$  
　　tan（π＋α）＝tanα !u~|t% t|  
_UAgO 3P  
万能公式 g>~z6'1qJ  
W #P1!  
　　 Zj1nWHc dW  
{{`J#u  
其它公式 @H=V,LbX=  
O-1 v&$,  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ]#!VS  
B; R[ 2f  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 OH UOEX  
HELmCQh  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 %C#SsIsv  
gJaZW   
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 jFf#&2xc:  
$o%@U7W  
　　对于任意非直角三角形,总有 *IZ-f>[yWP  
|-HL?(b  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .}f,Mg  
r\)^ JC  
　　证: n?9yym~(  
ESxHP  
　　A+B=π-C *$y7i^cH7  
`f7g>VCH  
　　tan(A+B)=tan(π-C) kE0HXibR  
H+uKyL[>  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) f_fc`5kN  
Yol1,  
　　整理可得 \_I5vAl"  
SN DI   
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC MBufR,"  
fQE.tg$z&  
　　得证 dK`Vd}!  
lGyI5x'  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 *ZRfNy  
{Zm*Z6<nTG  
其他非重点三角函数   &I"V  
JIWL)=u(c  
　　csc(a) = 1/sin(a) ]4>=#oaJ  
6XW1@V2s  
　　sec(a) = 1/cos(a) kKM6k/  
I26J"GAM  
　　 h5He7k(  
-s  
双曲函数 %G]izd}Jn  
f`IEn>  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 n3uS9ZK6L  
Yar dK$L@  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 R.V]=]F[m  
Ehlvw|68  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) PC'5qo*H:  
bvZZw1}"  
　　公式一： _x@wCUq  
v [g o  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： vHp+qWk5  
,gyEcE 73  
　　sin（2kπ＋α）= sinα lI~y>rVY%  
n6~Y.!`N  
　　cos（2kπ＋α）= cosα BdW1R\M2  
W& 1@u-+  
　　tan（kπ＋α）= tanα '@SOB{TH7  
=8KCx|)  
　　cot（kπ＋α）= cotα t^)+ Z8O  
$a>,w?*P  
　　公式二： ,c`A!o)i  
}s1Lt_?M  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 4 X40P  
,#vN#<yaz  
　　sin（π＋α）= -sinα vPxX.R2T  
"u z(# ?  
　　cos（π＋α）= -cosα =)GYoi-@>E  
= A[t(4*  
　　tan（π＋α）= tanα T:KNe3"h1  
C?{Z+,  
　　cot（π＋α）= cotα F!Kh7gE>  
C@Si=CUr  
　　公式三： &3TfA!DOO  
CyJN.Y3  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 2 > =3-t!  
fo>Ta9Krm  
　　sin（-α）= -sinα 8!Jy:]k  
W #%syx;  
　　cos（-α）= cosα g:!U>Moy=  
WJ =c));)  
　　tan（-α）= -tanα &iv?-.w  
SC2A  .  
　　cot（-α）= -cotα Y@ZM<l  
MQI0` ~A  
　　公式四： !X9?s7gu0  
z~dl0Y.<  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： QFqbIko1  
= BX"&W  
　　sin（π-α）= sinα |USzi'af  
jX\]yg_|p  
　　cos（π-α）= -cosα (?^ak5M_  
)J]{} ?^z  
　　tan（π-α）= -tanα Cb*1 ^nWK  
_HnSiO2}g  
　　cot（π-α）= -cotα >27CKj  
'&u5_^W?  
　　公式五： )H6'|/\r  
\^61(MGI  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： }%I9k k]  
.~|EL V  
　　sin（2π-α）= -sinα K{Ew+$I8M  
[]9a Iy.V  
　　cos（2π-α）= cosα hm^vpz}n  
#hF,_^G;yU  
　　tan（2π-α）= -tanα F,0jim2L  
k%F]6jK<V  
　　cot（2π-α）= -cotα [c/{T.Vpto  
!}1_"71&_  
　　公式六：  Gd-/B aI  
L7%!z6#j7  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Djif:R  
[;UJor55  
　　sin（π/2+α）= cosα *fkc$]   
h} <0L;s  
　　cos（π/2+α）= -sinα +FmmA*  
*Q#]dB  
　　tan（π/2+α）= -cotα Jdo$ "q6  
^? k-d]q  
　　cot（π/2+α）= -tanα ,.( cr-  
\811~|5K4  
　　sin（π/2-α）= cosα Q^8)xlJc4^  
vT Tk|F~)  
　　cos（π/2-α）= sinα Z#)ln4*}  
bdG[uMdS/  
　　tan（π/2-α）= cotα DM) Kmd  
T0nOo$/  
　　cot（π/2-α）= tanα ",%Mr4  
WA[:z2j[0  
　　sin（3π/2+α）= -cosα spS |acF"  
=^XQk\V`<  
　　cos（3π/2+α）= sinα O:ne+"nx  
93`;> *^L  
　　tan（3π/2+α）= -cotα caEX6\  
MZ<MoFi  
　　cot（3π/2+α）= -tanα %E(z!5  
dBW7W`!  
　　sin（3π/2-α）= -cosα N 7?t+Fb+  
dA<x}hy  
　　cos（3π/2-α）= -sinα zfeWZ!9  
=5mZ=1dcH  
　　tan（3π/2-α）= cotα ) ?)P'D^v  
u%E%Wiw  
　　cot（3π/2-α）= tanα (whQP!T't  
[m^:7Vp}}  
　　(以上k∈Z) WT8&Cmu~  
>-tr8F mG  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 b ={se-4  
[RJ}x|  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Y_;xV4*  
+.> <;:PS  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } IHHtGu%e  
k/+aJ*86  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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